Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
;

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse limite que está pedindo para verificar se existe e, se sim, determinar o valor. A gente está lidando com limites de funções de duas variáveis, então precisamos entender como a função se comporta quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos olhar cada parte da função e ver como elas se comportam perto desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na parte . À medida que e se aproximam de 0, os quadrados deles ( e ) também se tornam muito pequenos. Então, a expressão dentro da raiz fica próxima de , que é . Ou seja, essa parte da função tende a 1 quando se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos considerar . Conforme e se aproximam de 0, o produto também tende a 0, fazendo com que cresça sem limites (ou seja, vai para ou dependendo dos sinais de e ). O seno de um número que vai para o infinito não tem um limite definido porque o continua oscilando entre -1 e 1 sem se estabilizar.

Resposta

O limite não existe.

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Seja uma função diferenciável, onde e, além disso, o traço de , está contida no gráfico de . Determine a equação da reta tangente a no ponto .
Seja , dada por
Reparametrize pelo comprimento de arco;
Seja uma curva, definida por .
Determine o ponto no qual a tangente à curva seja ortogonal ao vetor ;
Seja , dada por
Mostre que é uma curva plana e obtenha a equação do plano que a contém;