Seja
uma curva, definida por
.
Determine o ponto
no qual a tangente à curva seja ortogonal ao vetor
;
Determine o ponto
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida por
, onde
é um número real. Precisamos encontrar o ponto
nessa curva onde a tangente à curva é ortogonal ao vetor
. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da curva para obter a tangente e usar o produto escalar para verificar a ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva
. A derivada
nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto
.
Passo 3
Calculando a derivada de cada componente de
:
Portanto,
Passo 4
Agora, para que a tangente seja ortogonal ao vetor
, o produto escalar entre
e
deve ser zero.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar:
Passo 6
Igualamos o produto escalar a zero e resolvemos a equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 7
Agora, substituímos esses valores de
na função
para encontrar os pontos
correspondentes:
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos
onde a tangente à curva
é ortogonal ao vetor
são
e
.
Exercícios relacionados
Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
;
Seja
uma função diferenciável, onde
e, além disso, o traço de
, está contida no gráfico de
. Determine a equação da reta tangente a
no ponto
.
Seja
, dada por
Mostre que
é uma curva plana e obtenha a equação do plano que a contém;
Seja
, dada por
Obtenha a equação cartesiana do plano osculador de
no ponto
.