Seja uma curva, definida por .
Determine o ponto no qual a tangente à curva seja ortogonal ao vetor ;

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida por , onde é um número real. Precisamos encontrar o ponto nessa curva onde a tangente à curva é ortogonal ao vetor . Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da curva para obter a tangente e usar o produto escalar para verificar a ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva . A derivada nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto .

Passo 3

Calculando a derivada de cada componente de :
Portanto,

Passo 4

Agora, para que a tangente seja ortogonal ao vetor , o produto escalar entre e deve ser zero.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar:

Passo 6

Igualamos o produto escalar a zero e resolvemos a equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para :

Passo 7

Agora, substituímos esses valores de na função para encontrar os pontos correspondentes:
Para :
Para :

Resposta

Os pontos onde a tangente à curva é ortogonal ao vetor são e .

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Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
;
Seja uma função diferenciável, onde e, além disso, o traço de , está contida no gráfico de . Determine a equação da reta tangente a no ponto .
Seja , dada por
Mostre que é uma curva plana e obtenha a equação do plano que a contém;
Seja , dada por
Obtenha a equação cartesiana do plano osculador de no ponto .