Seja alpha: R -> R^3 uma curva, definida por alpha(t) = (t, t^2, t^3), t em R.
Determine o ponto Q no qual a tangente à curva seja ortogonal ao vetor B = (1, -2, 1);

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida por , onde t é um número real. Precisamos encontrar o ponto Q nessa curva onde a tangente à curva é ortogonal ao vetor . Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da curva para obter a tangente e usar o produto escalar para verificar a ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva alpha(t). A derivada nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto t.

Passo 3

Calculando a derivada de cada componente de alpha(t):
Portanto,

Passo 4

Agora, para que a tangente seja ortogonal ao vetor , o produto escalar entre e B deve ser zero.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar:

Passo 6

Igualamos o produto escalar a zero e resolvemos a equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para t:

Passo 7

Agora, substituímos esses valores de t na função alpha(t) para encontrar os pontos Q correspondentes:
Para :
Para :

Resposta

Os pontos Q onde a tangente à curva alpha(t) é ortogonal ao vetor B são e .

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