Seja .
(a) Mostre que, se , então

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por . A parte (a) da questão nos pede para mostrar que, se , então:
Isso envolve conceitos de desigualdades e propriedades das potências. Vamos precisar usar algumas regras de álgebra e propriedades de funções exponenciais para provar essa desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma propriedade básica das potências: para qualquer número real e inteiro positivo , temos:
Isso significa que e . Vamos usar isso para reescrever a expressão que precisamos comparar.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão que temos que provar:
Substituindo por e por , temos:

Passo 4

Vamos fatorar e na expressão:
Observamos que tanto no numerador quanto no denominador, temos termos que podem ser manipulados para facilitar a comparação com .

Passo 5

Agora, vamos considerar que . Isso significa que . Sabemos que, para , a diferença é positiva. Portanto, podemos dividir ambos os lados da desigualdade sem alterar o sentido dela.
Queremos provar que:
Substituindo, temos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão do lado esquerdo:
Queremos mostrar que isso é menor que . Para isso, vamos observar que, como , , já que (assumindo positivo).

Passo 7

Considerando que , podemos então dizer que:
E, portanto:
Então, temos:

Passo 8

No entanto, queremos provar que . Observando que para , podemos concluir que .
Como já mostramos que e , podemos concluir que:

Resposta

Portanto, mostramos que se , então:

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