Seja
.
(a) Mostre que, se
, então
(a) Mostre que, se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por
. A parte (a) da questão nos pede para mostrar que, se
, então:
Isso envolve conceitos de desigualdades e propriedades das potências. Vamos precisar usar algumas regras de álgebra e propriedades de funções exponenciais para provar essa desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma propriedade básica das potências: para qualquer número real
e inteiro positivo
, temos:
Isso significa que
e
. Vamos usar isso para reescrever a expressão que precisamos comparar.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão que temos que provar:
Substituindo
por
e
por
, temos:
Passo 4
Vamos fatorar
e
na expressão:
Observamos que tanto no numerador quanto no denominador, temos termos que podem ser manipulados para facilitar a comparação com
.
Passo 5
Agora, vamos considerar que
. Isso significa que
. Sabemos que, para
, a diferença
é positiva. Portanto, podemos dividir ambos os lados da desigualdade sem alterar o sentido dela.
Queremos provar que:
Substituindo, temos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão do lado esquerdo:
Queremos mostrar que isso é menor que
. Para isso, vamos observar que, como
,
, já que
(assumindo
positivo).
Passo 7
Considerando que
, podemos então dizer que:
E, portanto:
Então, temos:
Passo 8
No entanto, queremos provar que
. Observando que
para
, podemos concluir que
.
Como já mostramos que
e
, podemos concluir que:
Resposta
Portanto, mostramos que se
, então:
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