Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função usando a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia é uma técnica de derivação que usamos quando temos funções compostas, ou seja, uma função dentro da outra. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as derivadas das funções exponenciais e das funções trigonométricas, além de como aplicar a Regra da Cadeia passo a passo.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos a função externa e a função interna na nossa função composta. Aqui, a função externa é , onde . Para aplicar a Regra da Cadeia, precisamos derivar a função externa em relação a e depois multiplicar pela derivada da função interna em relação a .

Passo 3

Vamos derivar a função externa em relação a . A derivada de em relação a é simplesmente :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada da função interna em relação a . Para isso, usamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a primeira função vezes a derivada da segunda mais a segunda função vezes a derivada da primeira.
Derivando cada parte:
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo:
Seja .
(a) Mostre que, se , então
Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo:
Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo: