Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função
usando a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia é uma técnica de derivação que usamos quando temos funções compostas, ou seja, uma função dentro da outra. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as derivadas das funções exponenciais e das funções trigonométricas, além de como aplicar a Regra da Cadeia passo a passo.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos a função externa e a função interna na nossa função composta. Aqui, a função externa é
, onde
. Para aplicar a Regra da Cadeia, precisamos derivar a função externa em relação a
e depois multiplicar pela derivada da função interna
em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar a função externa
em relação a
. A derivada de
em relação a
é simplesmente
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada da função interna
em relação a
. Para isso, usamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a primeira função vezes a derivada da segunda mais a segunda função vezes a derivada da primeira.
Derivando cada parte:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada de
é:
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Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo:
Seja
.
(a) Mostre que, se , então
(a) Mostre que, se
Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo:
Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo: