Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma função composta:
. O conteúdo que vamos usar aqui é a Regra da Cadeia, que ajuda a encontrar a derivada de funções compostas. Então, pra resolver, vamos precisar entender como aplicar essa regra passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função para aplicar a Regra da Cadeia. Temos uma função externa, que é elevar algo à nona potência, e uma função interna, que é a fração
. Vamos chamar a função interna de
. Assim, nossa função fica
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia. A derivada de
em relação a
é dada por:
Ou seja, a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 4
Precisamos agora encontrar
, a derivada da função interna
. Para isso, usamos a Regra do Quociente, que diz que a derivada de uma fração
é:
Aqui,
e
.
Passo 5
Vamos calcular
e
:
Então, substituindo na Regra do Quociente:
Passo 6
Agora, vamos simplificar o numerador:
Subtraindo:
Então,
.
Passo 7
Voltando à derivada de
:
Podemos multiplicar os coeficientes e juntar as potências:
Resposta
A derivada de
é:
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Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo:
Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo:
Seja
.
(a) Mostre que, se , então
(a) Mostre que, se
Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo: