Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma função composta: . O conteúdo que vamos usar aqui é a Regra da Cadeia, que ajuda a encontrar a derivada de funções compostas. Então, pra resolver, vamos precisar entender como aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função para aplicar a Regra da Cadeia. Temos uma função externa, que é elevar algo à nona potência, e uma função interna, que é a fração . Vamos chamar a função interna de . Assim, nossa função fica .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia. A derivada de em relação a é dada por:
Ou seja, a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 4

Precisamos agora encontrar , a derivada da função interna . Para isso, usamos a Regra do Quociente, que diz que a derivada de uma fração é:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos calcular e :
Então, substituindo na Regra do Quociente:

Passo 6

Agora, vamos simplificar o numerador:
Subtraindo:
Então, .

Passo 7

Voltando à derivada de :
Podemos multiplicar os coeficientes e juntar as potências:

Resposta

A derivada de é:

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Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo:
Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo:
Seja .
(a) Mostre que, se , então
Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo: