Use o teste das séries alternadas e teste as seguintes séries quanto a convergência ou divergência. Em seguida, verifique se também são absolutamente convergentes.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série alternada . Nosso objetivo é verificar se essa série converge ou diverge usando o Teste das Séries Alternadas e, depois, ver se ela também é absolutamente convergente. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série alternada, como aplicar o teste e como verificar a convergência absoluta.
Passo 2
Vamos começar pelo Teste das Séries Alternadas. Esse teste diz que uma série da forma converge se duas condições forem atendidas:
Os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero quando tende ao infinito.
O limite de quando vai para o infinito é zero, ou seja, .
No nosso caso, . Vamos verificar essas condições.
Passo 3
Primeiro, observe que é positivo para todo porque o logaritmo natural de é sempre positivo. Agora, precisamos ver se é decrescente. Como aumenta conforme aumenta, o denominador da fração aumenta, fazendo com que diminua. Portanto, é uma sequência decrescente.
Passo 4
Agora, vamos verificar o limite de quando tende ao infinito:
Isso porque cresce sem limites conforme aumenta, fazendo com que a fração diminua para zero. Assim, a segunda condição do teste também é satisfeita.
Passo 5
Como ambas as condições do Teste das Séries Alternadas são atendidas, podemos concluir que a série é convergente.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
Precisamos verificar se essa série converge. Vamos aplicar o Teste da Integral para séries:
Considere a integral:
integral1^infty 1ln(x+4) dx
Fazendo uma substituição u = ln(x+4), vemos que a integral diverge. Portanto, a série sumn=1^infty 1ln (n+4) também diverge.
Passo 7
Como a série dos valores absolutos diverge, concluímos que a série original não é absolutamente convergente.
Resposta
A série sumn=1^infty(-1)^n-1 1ln (n+4)converge pelo Teste das Séries Alternadas, mas não é absolutamente convergente.