Use o teste das séries alternadas e teste as seguintes séries quanto a convergência ou divergência. Em seguida, verifique se também são absolutamente convergentes. sumn=1^infty(-1)^n-1 1ln (n+4)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série alternada sumn=1^infty(-1)^n-1 1ln (n+4). Nosso objetivo é verificar se essa série converge ou diverge usando o Teste das Séries Alternadas e, depois, ver se ela também é absolutamente convergente. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série alternada, como aplicar o teste e como verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Vamos começar pelo Teste das Séries Alternadas. Esse teste diz que uma série da forma sumn=1^infty(-1)^n-1 an converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos an são positivos, decrescentes e tendem a zero quando n tende ao infinito.
  2. O limite de an quando n vai para o infinito é zero, ou seja, limn to infty an = 0.
No nosso caso, an = 1ln(n+4). Vamos verificar essas condições.

Passo 3

Primeiro, observe que an é positivo para todo n >= 1 porque o logaritmo natural de (n+4) é sempre positivo. Agora, precisamos ver se an é decrescente. Como ln(n+4) aumenta conforme n aumenta, o denominador da fração aumenta, fazendo com que an diminua. Portanto, an é uma sequência decrescente.

Passo 4

Agora, vamos verificar o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty 1ln(n+4) = 0
Isso porque ln(n+4) cresce sem limites conforme n aumenta, fazendo com que a fração diminua para zero. Assim, a segunda condição do teste também é satisfeita.

Passo 5

Como ambas as condições do Teste das Séries Alternadas são atendidas, podemos concluir que a série sumn=1^infty(-1)^n-1 1ln (n+4) é convergente.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 1ln (n+4) | = sumn=1^infty 1ln (n+4)
Precisamos verificar se essa série converge. Vamos aplicar o Teste da Integral para séries:
Considere a integral:
integral1^infty 1ln(x+4) dx
Fazendo uma substituição u = ln(x+4), vemos que a integral diverge. Portanto, a série sumn=1^infty 1ln (n+4) também diverge.

Passo 7

Como a série dos valores absolutos diverge, concluímos que a série original não é absolutamente convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n-1 1ln (n+4) converge pelo Teste das Séries Alternadas, mas não é absolutamente convergente.

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