Seja an=2 n3 n+1. Use o Teste da Divergência para determinar se a série sumn=1^infty an é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série onde . A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Divergência, que nos ajuda a verificar se uma série pode convergir ou diverge. Para aplicar esse teste, a gente precisa calcular o limite de quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teste da Divergência. Ele diz que se o limite de quando tende ao infinito não for zero, então a série diverge. Ou seja, para convergir, é necessário que . Mas olha, isso não garante a convergência, só indica que se o limite não for zero, com certeza a série diverge.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de limn to infty 2n3n + 1 quando limn to infty 2n3n + 1 = limn to infty 23 + 1n tende ao infinito:
limn to infty 23 + 0 = 23
Para resolver isso, a gente pode dividir o numerador e o denominador por :
Quando vai para o infinito, vai para zero, então:

Passo 4

O limite que encontramos foi , que não é zero. Segundo o Teste da Divergência, como o limite de não é zero, a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Divergência.

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