Seja
. Use o Teste da Divergência para determinar se a série
é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série
onde
. A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Divergência, que nos ajuda a verificar se uma série pode convergir ou diverge. Para aplicar esse teste, a gente precisa calcular o limite de
quando
vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teste da Divergência. Ele diz que se o limite de
quando
tende ao infinito não for zero, então a série
diverge. Ou seja, para convergir, é necessário que
. Mas olha, isso não garante a convergência, só indica que se o limite não for zero, com certeza a série diverge.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Para resolver isso, a gente pode dividir o numerador e o denominador por
:
Quando
vai para o infinito,
vai para zero, então:
Passo 4
O limite que encontramos foi
, que não é zero. Segundo o Teste da Divergência, como o limite de
não é zero, a série
diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Divergência.
Exercícios relacionados
Use o teste das séries alternadas e teste as seguintes séries quanto a convergência ou divergência. Em seguida, verifique se também são absolutamente convergentes.
Use os testes da comparação para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem.
. Dica: use o teste da comparação no limite com a série harmônica
As séries abaixo são
-séries. Encontre seu termo geral e o valor de
. Em seguida, diga se a série converge ou diverge.
Use o teste das séries alternadas e teste as seguintes séries quanto a convergência ou divergência. Em seguida, verifique se também são absolutamente convergentes.