As séries abaixo são
-séries. Encontre seu termo geral e o valor de
. Em seguida, diga se a série converge ou diverge.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos a série
, que é uma
-série. Precisamos encontrar o termo geral dessa série, identificar o valor de
e determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conceito de
-séries, que são da forma
, onde
é um número real.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Observando os termos:
- O primeiro termo é
- O segundo termo é
- O terceiro termo é
- E assim por diante.
Podemos generalizar que o
-ésimo termo é
.
Então, o termo geral é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever
para colocá-lo na forma de uma
-série. Sabemos que
, então:
Portanto, a série pode ser escrita como:
Passo 4
Comparando com a definição de
-série
, vemos que:
Passo 5
Agora, vamos determinar se a série converge ou diverge. Sabemos que uma
-série converge se
e diverge se
.
Aqui, temos:
Portanto, a série converge.
Resposta
O termo geral da série é
, com
. A série converge.
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Seja
. Use o Teste da Divergência para determinar se a série
é convergente.
Use o teste das séries alternadas e teste as seguintes séries quanto a convergência ou divergência. Em seguida, verifique se também são absolutamente convergentes.
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Use o teste da razão para estudar a convergência ou divergência das seguintes séries: