As séries abaixo são p-séries. Encontre seu termo geral e o valor de p. Em seguida, diga se a série converge ou diverge. 1 + 1/(2 * raiz(2)) + 1/(3 * raiz(3)) + 1/(4 * raiz(4)) + 1/(5 * raiz(5)) + ...

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos a série , que é uma -série. Precisamos encontrar o termo geral dessa série, identificar o valor de e determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conceito de -séries, que são da forma , onde é um número real.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Observando os termos:
  • O primeiro termo é
  • O segundo termo é
  • O terceiro termo é
  • E assim por diante.
Podemos generalizar que o -ésimo termo é .
Então, o termo geral é:

Passo 3

Agora, vamos reescrever para colocá-lo na forma de uma -série. Sabemos que , então:
Portanto, a série pode ser escrita como:

Passo 4

Comparando com a definição de -série , vemos que:

Passo 5

Agora, vamos determinar se a série converge ou diverge. Sabemos que uma -série converge se e diverge se .
Aqui, temos:
Portanto, a série converge.

Resposta

O termo geral da série é , com . A série converge.

Exercícios relacionados

Seja an=2 n3 n+1. Use o Teste da Divergência para determinar se a série sumn=1^infty an é convergente.
Use o teste das séries alternadas e teste as seguintes séries quanto a convergência ou divergência. Em seguida, verifique se também são absolutamente convergentes. sumn=1^infty(-1)^n-1 1ln (n+4)
Use o teste das séries alternadas e teste as seguintes séries quanto a convergência ou divergência. Em seguida, verifique se também são absolutamente convergentes. sumn=1^infty(-1)^n-1 12 n+1
Use o teste da razão para estudar a convergência ou divergência das seguintes séries: sumn=1^infty (-3)^n(2 n+1)!