Seja . Use o binômio de Newton para provar que . Em seguida, justifique por que
Por fim, conclua que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com sequências e limites, usando o Binômio de Newton. Primeiro, temos a sequência . Nosso objetivo é provar que , mostrar que e, por fim, concluir que . Para isso, vamos precisar entender o Binômio de Newton e como aplicá-lo em potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever como . Isso porque implica que , e elevando ambos os lados à potência , temos .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Binômio de Newton na expressão . O binômio expande dessa forma:
Como todos os termos após o segundo são positivos, podemos dizer que:
Mas sabemos que , então:

Passo 4

Podemos simplificar essa inequação subtraindo 1 e de ambos os lados:
Para facilitar, vamos ignorar os termos lineares para focar na parte quadrática:
Dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 5

Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:
Como e para todo , temos que . Portanto:

Passo 6

Agora, para encontrar o limite de quando tende ao infinito, observamos que está entre 0 e . Quando cresce, tende a 0, o que implica que também tende a 0.
Então:
Como , temos:

Resposta

Portanto, concluímos que .

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é convergente com limite igual a . A recíproca dessa afirmação é verdadeira? Se sim, prove. Se não, forneça um contra-exemplo.
Resolva as inequações a seguir: