Seja
. Use o binômio de Newton para provar que
. Em seguida, justifique por que
Por fim, conclua que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com sequências e limites, usando o Binômio de Newton. Primeiro, temos a sequência
. Nosso objetivo é provar que
, mostrar que
e, por fim, concluir que
. Para isso, vamos precisar entender o Binômio de Newton e como aplicá-lo em potências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
como
. Isso porque
implica que
, e elevando ambos os lados à potência
, temos
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Binômio de Newton na expressão
. O binômio expande dessa forma:
Como todos os termos após o segundo são positivos, podemos dizer que:
Mas sabemos que
, então:
Passo 4
Podemos simplificar essa inequação subtraindo 1 e
de ambos os lados:
Para facilitar, vamos ignorar os termos lineares para focar na parte quadrática:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 5
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:
Como
e
para todo
, temos que
. Portanto:
Passo 6
Agora, para encontrar o limite de
quando
tende ao infinito, observamos que
está entre 0 e
. Quando
cresce,
tende a 0, o que implica que
também tende a 0.
Então:
Como
, temos:
Resposta
Portanto, concluímos que
.
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Verifique se os conjuntos de números complexos, caracterizados pelas se são abertos ou fechados, conexos ou não conexos:
Usando o Teorema do Confronto, avalie a convergência da sequência
Seja
uma sequência convergente com limite igual a
. Usando a definição de convergência, mostre que
é convergente com limite igual a
. A recíproca dessa afirmação é verdadeira? Se sim, prove. Se não, forneça um contra-exemplo.
Resolva as inequações a seguir: