Verifique se os conjuntos de números complexos, caracterizados pelas se são abertos ou fechados, conexos ou não conexos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de números complexos que satisfazem a condição
é aberto ou fechado, e também se é conexo ou não conexo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre números complexos, conjuntos abertos e fechados, e sobre conexidade em topologia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
em números complexos. Um número complexo
pode ser escrito como
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Aqui,
representa o conjugado de
. O conjugado de
é
. Então,
.
Passo 4
A parte real de
é simplesmente
. Portanto, a inequação
se torna:
Simplificando isso, temos:
Passo 5
Então, o conjunto de números complexos que satisfazem essa condição é formado por todos os números complexos
onde
e
é qualquer número real. Geometricamente, isso corresponde a todos os pontos no plano complexo que estão à direita da reta
.
Passo 6
Agora, vamos verificar se esse conjunto é aberto ou fechado. Em topologia, um conjunto é aberto se não inclui a sua fronteira, e fechado se inclui. No nosso caso, a condição
inclui exatamente a fronteira
. Portanto, esse conjunto é fechado.
Passo 7
Por último, vamos ver se o conjunto é conexo ou não conexo. Um conjunto é conexo se qualquer dois pontos nele podem ser ligados por um caminho que também está dentro do conjunto. Como o nosso conjunto é basicamente uma “metade” infinita do plano complexo, onde
, não há “quebras” ou “divisões” nele. Portanto, o conjunto é conexo.
Resposta
O conjunto de números complexos que satisfazem
é fechado e conexo.
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Seja
. Use o binômio de Newton para provar que
. Em seguida, justifique por que
Por fim, conclua que
.
Seja
uma sequência convergente com limite igual a
. Usando a definição de convergência, mostre que
é convergente com limite igual a
. A recíproca dessa afirmação é verdadeira? Se sim, prove. Se não, forneça um contra-exemplo.