Verifique se os conjuntos de números complexos, caracterizados pelas se são abertos ou fechados, conexos ou não conexos:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de números complexos que satisfazem a condição é aberto ou fechado, e também se é conexo ou não conexo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre números complexos, conjuntos abertos e fechados, e sobre conexidade em topologia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa em números complexos. Um número complexo pode ser escrito como , onde e são números reais, e é a unidade imaginária.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Aqui, representa o conjugado de . O conjugado de é . Então, .

Passo 4

A parte real de é simplesmente . Portanto, a inequação se torna:
Simplificando isso, temos:

Passo 5

Então, o conjunto de números complexos que satisfazem essa condição é formado por todos os números complexos onde e é qualquer número real. Geometricamente, isso corresponde a todos os pontos no plano complexo que estão à direita da reta .

Passo 6

Agora, vamos verificar se esse conjunto é aberto ou fechado. Em topologia, um conjunto é aberto se não inclui a sua fronteira, e fechado se inclui. No nosso caso, a condição inclui exatamente a fronteira . Portanto, esse conjunto é fechado.

Passo 7

Por último, vamos ver se o conjunto é conexo ou não conexo. Um conjunto é conexo se qualquer dois pontos nele podem ser ligados por um caminho que também está dentro do conjunto. Como o nosso conjunto é basicamente uma “metade” infinita do plano complexo, onde , não há “quebras” ou “divisões” nele. Portanto, o conjunto é conexo.

Resposta

O conjunto de números complexos que satisfazem é fechado e conexo.

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