Seja uma sequência convergente com limite igual a . Usando a definição de convergência, mostre que
é convergente com limite igual a . A recíproca dessa afirmação é verdadeira? Se sim, prove. Se não, forneça um contra-exemplo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é sobre sequências que convergem. Mais especificamente, temos uma sequência que converge para um limite . A gente precisa mostrar que a média dessa sequência até o termo , que chamamos de , também converge para o mesmo limite . Além disso, vamos verificar se a recíproca disso também é verdadeira. Para resolver isso, vamos usar a definição de convergência de sequências e alguns conceitos básicos de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma sequência convergir para . Segundo a definição, para todo número , existe um número tal que, para todo , a diferença entre e é menor que :
Isso significa que os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de à medida que aumenta.
Passo 3
Agora, vamos analisar a sequência . Queremos mostrar que também converge para . Para isso, vamos usar a definição de convergência para .
Passo 4
Vamos considerar a diferença entre e :
Podemos reescrever isso como:
Utilizando a propriedade da desigualdade triangular, temos:
Passo 5
Como converge para , sabemos que para , cada termo . Vamos separar a soma em dois partes: os primeiros termos e os demais.
Para os termos a partir de , cada , então:
Passo 6
Vamos analisar cada parte:
: Como cresce, esse termo tende a zero porque o numerador é uma soma fixa de termos.
: �� medida que cresce, tende a zero, então esse termo tende a .
Portanto, para suficientemente grande, temos:
O que significa que para grande o suficiente.
Passo 7
Como é arbitrário, podemos concluir que:
Ou seja, converge para .
Passo 8
Agora, vamos para a segunda parte da questão: será que a recíproca é verdadeira? Ou seja, se converge para , isso implica que também converge para ?
Vamos pensar em um contra-exemplo. Imagine a sequência . Essa sequência não converge porque alterna entre 1 e -1 indefinidamente. Agora, vamos calcular :
Para par:
Para ímpar:
À medida que , . Então, converge para 0, mas não converge.
Resposta
Portanto, mostramos que se converge para , então também converge para . Contudo, a recíproca não é verdadeira, como ilustrado pelo contra-exemplo da sequência , onde converge para 0, mas não converge.