Usando o Teorema do Confronto, avalie a convergência da sequência

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o Teorema do Confronto para avaliar se a sequência converge ou não.
Matéria envolvida:
  • Teorema do Confronto (ou Teorema da Comparação): Usado para determinar a convergência de uma sequência ou série comparando-a com outra que já sabemos se converge ou diverge.
  • Análise de sequências: Para entender o comportamento de quando tende ao infinito.
Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a expressão da sequência . Ela é uma soma de termos da forma , onde vai de 1 até . Ou seja:
Para facilitar, vamos simplificar o denominador. Observemos que é muito maior que quando cresce, então .
Então, podemos aproximar:
Portanto, cada termo da soma fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, vamos comparar com uma sequência que conhecemos. Pela aproximação que fizemos, se comporta como:
Isso sugere que tende a 1 quando cresce. Mas vamos formalizar isso usando o Teorema do Confronto.

Passo 4

Para aplicar o Teorema do Confronto, precisamos encontrar duas sequências e que limitam nossa sequência :
E então analisar o comportamento de e .
Vamos encontrar limites inferiores e superiores para cada termo da soma.
Sabemos que varia de 1 a , então . Portanto:
Tomando a raiz quadrada:
Inverter a desigualdade (pois estamos no denominador):
Multiplicando por :

Passo 5

Agora, somamos todos os termos de a :
Simplificando as somas:
Ou seja:

Passo 6

Vamos simplificar as expressões das extremidades. Observe que:
E similarmente:

Passo 7

Agora, vamos analisar o limite dessas expressões quando :
Então, tanto o limite inferior quanto o limite superior de são iguais a 1.

Resposta

Pelo Teorema do Confronto, concluímos que a sequência converge para 1.

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