Usando o Teorema do Confronto, avalie a convergência da sequência
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o Teorema do Confronto para avaliar se a sequência
converge ou não.
Matéria envolvida:
- Teorema do Confronto (ou Teorema da Comparação): Usado para determinar a convergência de uma sequência ou série comparando-a com outra que já sabemos se converge ou diverge.
- Análise de sequências: Para entender o comportamento de
quando tende ao infinito.
Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a expressão da sequência
. Ela é uma soma de termos da forma
, onde
vai de 1 até
. Ou seja:
Para facilitar, vamos simplificar o denominador. Observemos que
é muito maior que
quando
cresce, então
.
Então, podemos aproximar:
Portanto, cada termo da soma fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, vamos comparar
com uma sequência que conhecemos. Pela aproximação que fizemos,
se comporta como:
Isso sugere que
tende a 1 quando
cresce. Mas vamos formalizar isso usando o Teorema do Confronto.
Passo 4
Para aplicar o Teorema do Confronto, precisamos encontrar duas sequências
e
que limitam nossa sequência
:
E então analisar o comportamento de
e
.
Vamos encontrar limites inferiores e superiores para cada termo da soma.
Sabemos que
varia de 1 a
, então
. Portanto:
Tomando a raiz quadrada:
Inverter a desigualdade (pois estamos no denominador):
Multiplicando por
:
Passo 5
Agora, somamos todos os termos de
a
:
Simplificando as somas:
Ou seja:
Passo 6
Vamos simplificar as expressões das extremidades. Observe que:
E similarmente:
Passo 7
Agora, vamos analisar o limite dessas expressões quando
:
Então, tanto o limite inferior quanto o limite superior de
são iguais a 1.
Resposta
Pelo Teorema do Confronto, concluímos que a sequência
converge para 1.
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. Em seguida, justifique por que
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.