Seja um anel qualquer. Mostre que , dada por é homomorfismo. Conclua que é subanel de .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função , definida por
é um homomorfismo de anéis. Além disso, precisamos concluir que o conjunto
é um subanel de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo de anéis e como verificar se um conjunto é um subanel.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de anéis. É uma função entre dois anéis que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, para todos ,
Vamos verificar essas duas propriedades para a função .

Passo 3

Verificando a preservação da adição:
Sejam e em .
Então,
e
Por outro lado,
Como , a função preserva a adição.

Passo 4

Verificando a preservação da multiplicação:
Vamos calcular e e ver se são iguais.
Primeiro, multiplicamos e :
Então,
Agora, calculamos :
Multiplicando essas matrizes:
Como , a função também preserva a multiplicação.

Passo 5

Como preserva tanto a adição quanto a multiplicação, ela é um homomorfismo de anéis.

Passo 6

Agora, vamos concluir que o conjunto
é um subanel de .
Para isso, precisamos verificar três coisas:
  1. Fechamento sob a adição: Se pegarmos duas matrizes em e somarmos, o resultado também está em .
  2. Fechamento sob a multiplicação: Se multiplicarmos duas matrizes em , o resultado também está em .
  3. Presença do elemento neutro: A matriz zero está em .
Verificação:
  1. Seja e .
  2. Multiplicando e :
  3. A matriz zero é:
Como todas essas condições são satisfeitas, é um subanel de .

Resposta

Portanto, a função é um homomorfismo de anéis e o conjunto constituído por todas as matrizes da forma é um subanel de .

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