Seja A um anel qualquer. Mostre que f: M2(A) M3(A), dada por f([lla & b c & d])=[lll0 & 0 & 0 a & b & 0 c & d & 0] é homomorfismo. Conclua que [lll0 & 0 & 0 x & y & 0 z & t & 0] in M3(A) é subanel de M3(A).

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função f( a & b c & d ) = 0 & 0 & 0 a & b & 0 c & d & 0 , , definida por
0 & 0 & 0 x & y & 0 z & t & 0 in M3(A)
é um homomorfismo de anéis. Além disso, precisamos concluir que o conjunto
é um subanel de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo de anéis e como verificar se um conjunto é um subanel.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de anéis. É uma função entre dois anéis que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, para todos f(X + Y) = f(X) + f(Y) e f(XY) = f(X)f(Y) ,
Vamos verificar essas duas propriedades para a função .

Passo 3

Verificando a preservação da adição:
Sejam a & b c & d e e & f g & h em X + Y = a+e & b+f c+g & d+h , .
Então,
f(X + Y) = 0 & 0 & 0 a+e & b+f & 0 c+g & d+h & 0
e
f(X) + f(Y) = 0 & 0 & 0 a & b & 0 c & d & 0 + 0 & 0 & 0 e & f & 0 g & h & 0 = 0 & 0 & 0 a+e & b+f & 0 c+g & d+h & 0
Por outro lado,
Como , a função preserva a adição.

Passo 4

Verificando a preservação da multiplicação:
Vamos calcular XY = a & b c & d e & f g & h = ae + bg & af + bh ce + dg & cf + dh e f(XY) = 0 & 0 & 0 ae + bg & af + bh & 0 ce + dg & cf + dh & 0 e ver se são iguais.
Primeiro, multiplicamos f(X) = 0 & 0 & 0 a & b & 0 c & d & 0 , f(Y) = 0 & 0 & 0 e & f & 0 g & h & 0 e f(X)f(Y) = 0 & 0 & 0 a & b & 0 c & d & 0 0 & 0 & 0 e & f & 0 g & h & 0 = 0 & 0 & 0 ae + bg & af + bh & 0 ce + dg & cf + dh & 0 :
Então,
Agora, calculamos :
Multiplicando essas matrizes:
Como , a função também preserva a multiplicação.

Passo 5

Como preserva tanto a adição quanto a multiplicação, ela é um homomorfismo de anéis.

Passo 6

Agora, vamos concluir que o conjunto
S = 0 & 0 & 0 x & y & 0 z & t & 0 in M3(A)
é um subanel de 0 & 0 & 0 x & y & 0 z & t & 0 .
Para isso, precisamos verificar três coisas:
  1. Fechamento sob a adição: Se pegarmos duas matrizes em 0 & 0 & 0 x' & y' & 0 z' & t' & 0 e somarmos, o resultado também está em A + B = 0 & 0 & 0 x + x' & y + y' & 0 z + z' & t + t' & 0 in S .
  2. Fechamento sob a multiplicação: Se multiplicarmos duas matrizes em AB = 0 & 0 & 0 x cdot 0 + y cdot x' + 0 cdot z' & x cdot 0 + y cdot y' + 0 cdot t' & 0 z cdot 0 + t cdot x' + 0 cdot z' & z cdot 0 + t cdot y' + 0 cdot t' & 0 = 0 & 0 & 0 yx' & yy' & 0 tx' & ty' & 0 in S , o resultado também está em 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 in S .
  3. Presença do elemento neutro: A matriz zero está em .
Verificação:
  1. Seja e .
  2. Multiplicando e :
  3. A matriz zero é:
Como todas essas condições são satisfeitas, é um subanel de .

Resposta

Portanto, a função 0 & 0 & 0 x & y & 0 z & t & 0 é um homomorfismo de anéis e o conjunto constituído por todas as matrizes da forma é um subanel de .

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