Seja
homomorfismo de aneis. Prove que se
é subanel (ideal) de
é subanel (ideal) de
. (Observação: Lembre que
.)
Passo 1
Vamos dar uma geral no que a questão está pedindo e nos conceitos que vamos usar. A gente tem um homomorfismo de anéis
, ou seja, uma função que preserva as operações de adição e multiplicação entre os anéis
e
. Além disso, temos um ideal
de
. O objetivo é provar que o conjunto
também é um ideal de
. Para isso, precisamos entender o que define um ideal e como o homomorfismo
interage com esse conceito.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um homomorfismo de anéis. É uma função entre dois anéis que respeita as operações do anel, ou seja, para todos
:
Também,
manda o elemento neutro de
no neutro de
:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é um ideal. Um subconjunto
de um anel
é um ideal se:
- Subanel:
não é vazio e se você pegar dois elementos , então e também estão em . - Absorção pela multiplica��ão: Para qualquer
e , tanto quanto estão em .
Vamos ver se
cumpre essas condições no anel
.
Passo 4
Primeiro, mostramos que
não é vazio. Sabemos que
é um ideal de
, então o elemento neutro
está em
. Como
, isso significa que
.
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição e subtração. Seja
, ou seja,
e
. Como
é um ideal (e portanto um subanel), a soma
também está em
, o que implica que
. O mesmo vale para a subtração:
, então
.
Passo 5
Por fim, precisamos checar a absorção pela multiplicação. Pegue qualquer
e qualquer
. Então,
. Como
é um ideal de
, temos:
Isso mostra que
. Da mesma forma:
Então,
.
Resposta
Como
satisfaz todas as propriedades de um ideal em
(não vazio, fechado sob adição e subtração, e absorve multiplicação por elementos de
), concluímos que
é realmente um ideal de
.