Seja homomorfismo de aneis. Prove que se é subanel (ideal) de é subanel (ideal) de . (Observação: Lembre que .)
Passo 1
Vamos dar uma geral no que a questão está pedindo e nos conceitos que vamos usar. A gente tem um homomorfismo de anéis, ou seja, uma função que preserva as operações de adição e multiplicação entre os anéis e . Além disso, temos um ideal de . O objetivo é provar que o conjunto também é um ideal de . Para isso, precisamos entender o que define um ideal e como o homomorfismo interage com esse conceito.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um homomorfismo de anéis. É uma função entre dois anéis que respeita as operações do anel, ou seja, para todos :
Também, manda o elemento neutro de no neutro de :
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é um ideal. Um subconjunto de um anel é um ideal se:
Subanel: não é vazio e se você pegar dois elementos , então e também estão em .
Absorção pela multiplica��ão: Para qualquer e , tanto quanto estão em .
Vamos ver se cumpre essas condições no anel .
Passo 4
Primeiro, mostramos que não é vazio. Sabemos que é um ideal de , então o elemento neutro está em . Como , isso significa que .
Agora, vamos ver se é fechado sob adição e subtração. Seja , ou seja, e . Como é um ideal (e portanto um subanel), a soma também está em , o que implica que . O mesmo vale para a subtração: , então .
Passo 5
Por fim, precisamos checar a absorção pela multiplicação. Pegue qualquer e qualquer . Então, . Como é um ideal de , temos:
Isso mostra que . Da mesma forma:
Então, .
Resposta
Como satisfaz todas as propriedades de um ideal em (não vazio, fechado sob adição e subtração, e absorve multiplicação por elementos de ), concluímos que é realmente um ideal de .