Seja f: A B homomorfismo de aneis. Prove que se J é subanel (ideal) de B, f^-1(J) é subanel (ideal) de A. (Observação: Lembre que f^-1(X)=a in A ; f(a) in X.)

Passo 1

Vamos dar uma geral no que a questão está pedindo e nos conceitos que vamos usar. A gente tem um homomorfismo de anéis , ou seja, uma função que preserva as operações de adição e multiplicação entre os anéis e . Além disso, temos um ideal de . O objetivo é provar que o conjunto também é um ideal de . Para isso, precisamos entender o que define um ideal e como o homomorfismo interage com esse conceito.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um homomorfismo de anéis. É uma função entre dois anéis que respeita as operações do anel, ou seja, para todos f(a + b) = f(a) + f(b) :
f(a cdot b) = f(a) cdot f(b)
f(0A) = 0B
Também, manda o elemento neutro de no neutro de :

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é um ideal. Um subconjunto de um anel é um ideal se:
  1. Subanel: não é vazio e se você pegar dois elementos , então e também estão em .
  2. Absorção pela multiplica��ão: Para qualquer e , tanto quanto estão em .
Vamos ver se cumpre essas condições no anel .

Passo 4

Primeiro, mostramos que não é vazio. Sabemos que é um ideal de , então o elemento neutro está em . Como , isso significa que .
Agora, vamos ver se é fechado sob adição e subtração. Seja , ou seja, e . Como é um ideal (e portanto um subanel), a soma também está em , o que implica que . O mesmo vale para a subtração: , então .

Passo 5

Por fim, precisamos checar a absorção pela multiplicação. Pegue qualquer f(r) cdot f(a) = f(r cdot a) in J e qualquer f(a) cdot f(r) = f(a cdot r) in J . Então, . Como é um ideal de , temos:
Isso mostra que . Da mesma forma:
Então, .

Resposta

Como satisfaz todas as propriedades de um ideal em (não vazio, fechado sob adição e subtração, e absorve multiplicação por elementos de ), concluímos que é realmente um ideal de .

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