Seja A = {a, b, c}. Dê exemplo de uma relação R em A tal que: R é transitiva, antissimétrica e reflexiva.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto e precisamos encontrar uma relação R nesse conjunto que seja reflexiva, antissimétrica e transitiva. Isso envolve conceitos de teoria dos conjuntos e relações. Vamos precisar lembrar o que cada uma dessas propriedades significa para construir a relação desejada.

Passo 2

Vamos começar definindo o que significa cada uma dessas propriedades:
  • Reflexiva: Uma relação R em A é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Isso quer dizer que para todo x em A, o par deve estar em R.
  • Antissimétrica: Uma relação R em A é antissimétrica se, sempre que dois elementos diferentes estão relacionados em ambas as direções, então eles devem ser iguais. Formalmente, se (x, y) in R e , então .
    ã
  • Transitiva: Uma relação R em A é transitiva se sempre que um elemento está relacionado a um segundo, e este a um terceiro, então o primeiro está relacionado ao terceiro. Ou seja, se (x, y) in R e , então .
    ã

Passo 3

Vamos começar garantindo que a relação R seja reflexiva. Isso significa que todos os pares , e devem estar em R.

Passo 4

Agora, para que a relação seja antissimétrica, precisamos evitar que existam pares (x, y) e com x != y. Ou seja, se adicionarmos algum par (x, y) onde x != y, não podemos adicionar o par .
Vamos escolher adicionar alguns pares que não criem essas situações. Por exemplo, podemos adicionar o par (a, b). De acordo com a antissimetria, não podemos adicionar (b, a).
Então agora temos:

Passo 5

Por fim, vamos assegurar que a relação seja transitiva. Observando os pares que temos:
  • (a, b) está presente.
  • Não há nenhum par que comece com b, então não há necessidade de adicionar mais pares para a transitividade.
Os pares reflexivos já não afetam a transitividade além do que já está estabelecido.
Portanto, nossa relação R é:

Resposta

Um exemplo de relação R em que é reflexiva, antissimétrica e transitiva é:

Exercícios relacionados