Seja . Dê exemplo de uma relação em tal que: é transitiva, antissimétrica e reflexiva.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto e precisamos encontrar uma relação nesse conjunto que seja reflexiva, antissimétrica e transitiva. Isso envolve conceitos de teoria dos conjuntos e relações. Vamos precisar lembrar o que cada uma dessas propriedades significa para construir a relação desejada.

Passo 2

Vamos começar definindo o que significa cada uma dessas propriedades:
  • Reflexiva: Uma relação em é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Isso quer dizer que para todo , o par deve estar em .
  • Antissimétrica: Uma relação em é antissimétrica se, sempre que dois elementos diferentes estão relacionados em ambas as direções, então eles devem ser iguais. Formalmente, se e , então .
    ã
  • Transitiva: Uma relação em é transitiva se sempre que um elemento está relacionado a um segundo, e este a um terceiro, então o primeiro está relacionado ao terceiro. Ou seja, se e , então .
    ã

Passo 3

Vamos começar garantindo que a relação seja reflexiva. Isso significa que todos os pares , e devem estar em .

Passo 4

Agora, para que a relação seja antissimétrica, precisamos evitar que existam pares e com . Ou seja, se adicionarmos algum par onde , não podemos adicionar o par .
Vamos escolher adicionar alguns pares que não criem essas situações. Por exemplo, podemos adicionar o par . De acordo com a antissimetria, não podemos adicionar .
Então agora temos:

Passo 5

Por fim, vamos assegurar que a relação seja transitiva. Observando os pares que temos:
  • está presente.
  • Não há nenhum par que comece com , então não há necessidade de adicionar mais pares para a transitividade.
Os pares reflexivos já não afetam a transitividade além do que já está estabelecido.
Portanto, nossa relação é:

Resposta

Um exemplo de relação em que é reflexiva, antissimétrica e transitiva é:

Exercícios relacionados

Para cada função abaixo, determine ou calcule:
-amplitude;
-período;
-frequência;
-a diferença de fase em relação a ;
-deslocamento vertical em relação a
-esboce o gráfico;
Usando técnicas ou fórmulas de fatoração adequadas, simplique as expressões até que a expressão seja representada em formato não-fracionário.
Calcule a função inversa de cada função abaixo:
Usando técnicas ou fórmulas de fatoração adequadas, simplique as expressões até que a expressão seja representada em formato não-fracionário.