Seja
. Dê exemplo de uma relação
em
tal que:
é transitiva, simétrica e reflexiva;
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para definir uma relação
no conjunto
que seja reflexiva, simétrica e transitiva. Isso faz parte do estudo de relações, mais especificamente de relações de equivalência, que precisam ter essas três propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada uma dessas propriedades:
- Reflexiva: Toda elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo
, pertence a . - Simétrica: Se um elemento está relacionado a outro, então o segundo está relacionado ao primeiro. Formalmente, se
, então . - Transitiva: Se um elemento está relacionado a um segundo, e esse segundo está relacionado a um terceiro, então o primeiro está relacionado ao terceiro. Ou seja, se
e , então .
Passo 3
Agora, vamos construir a relação
que cumpre essas três propriedades. Começamos incluindo todos os pares reflexivos, ou seja,
,
, e
.
Passo 4
Para garantir a simetria, se adicionarmos um par
, devemos adicionar também
. Mas, como queremos uma relação mínima que ainda seja transitiva, podemos optar por não adicionar mais pares além dos reflexivos. Isso porque a relação reflexiva sozinha já atende às três propriedades:
- Reflexiva: Todos os elementos estão relacionados a si mesmos.
- Simétrica: Não há outros pares para violar a simetria.
- Transitiva: Não há sequências de três elementos que possam violar a transitividade.
Resposta
Um exemplo de relação
que é reflexiva, simétrica e transitiva é:
Exercícios relacionados
Seja
e
uma relação em
que é reflexiva, simétrica e antissimétrica. Mostre que
.
De quantas maneiras podemos posicionar 8 torres em um tabuleiro de xadrez sem que duas torres se ataquem?
Considerando os conjuntos
e
determine os seguintes conjuntos e as suas cardinalidades:
;
Considerando os conjuntos
e
determine os seguintes conjuntos e as suas cardinalidades:
;