Seja . Dê exemplo de uma relação em tal que: é transitiva, simétrica e reflexiva;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para definir uma relação no conjunto que seja reflexiva, simétrica e transitiva. Isso faz parte do estudo de relações, mais especificamente de relações de equivalência, que precisam ter essas três propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada uma dessas propriedades:
  • Reflexiva: Toda elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo , pertence a .
  • Simétrica: Se um elemento está relacionado a outro, então o segundo está relacionado ao primeiro. Formalmente, se , então .
  • Transitiva: Se um elemento está relacionado a um segundo, e esse segundo está relacionado a um terceiro, então o primeiro está relacionado ao terceiro. Ou seja, se e , então .

Passo 3

Agora, vamos construir a relação que cumpre essas três propriedades. Começamos incluindo todos os pares reflexivos, ou seja, , , e .

Passo 4

Para garantir a simetria, se adicionarmos um par , devemos adicionar também . Mas, como queremos uma relação mínima que ainda seja transitiva, podemos optar por não adicionar mais pares além dos reflexivos. Isso porque a relação reflexiva sozinha já atende às três propriedades:
  • Reflexiva: Todos os elementos estão relacionados a si mesmos.
  • Simétrica: Não há outros pares para violar a simetria.
  • Transitiva: Não há sequências de três elementos que possam violar a transitividade.

Resposta

Um exemplo de relação que é reflexiva, simétrica e transitiva é:

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