Seja A=(a, b, c) mid a, b, c in1,2,3,4 com a relação de ordem (a, b, c) preccurlyeq(x, y, z) long<=ftrightarrow (a <= x wed>= b <= y wed>= c <= z). Encontre todas as cotas inferiores e todas as cotas superiores do conjunto S= (2,1,4),(3,2,3). Determine, se existirem, inf S e sup S.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos o conjunto , que são todas as triplas possíveis onde cada elemento pode ser 1, 2, 3 ou 4. A relação de ordem que estamos usando é definida da seguinte forma: um elemento é menor ou igual a se, e somente se, , e . Nosso objetivo é encontrar todas as cotas inferiores (que estão abaixo) e superiores (que estão acima) do conjunto . Além disso, precisamos determinar se existem o ínfimo ( ) e o supremo ( ) desse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são cotas inferiores e superiores. Uma cota inferior de é um elemento que é menor ou igual a todos os elementos de na relação de ordem dada. Da mesma forma, uma cota superior é um elemento que é maior ou igual a todos os elementos de .

Passo 3

Vamos identificar as cotas inferiores de a <= 2 e a <= 3, . Precisamos encontrar todas as triplas b <= 1 e b <= 2, em c <= 4 e c <= 3 que satisfazem:
a <= 2,
b <= 1,
c <= 3
Simplificando, isso se torna:
(1,1,1), (1,1,2), (1,1,3), (2,1,1), (2,1,2), (2,1,3)
Portanto, as cotas inferiores são todas as triplas onde é 1 ou 2, é 1, e é 1, 2 ou 3. Essas triplas são:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as cotas superiores de x >= 2 e x >= 3, . Precisamos encontrar todas as triplas y >= 1 e y >= 2, em z >= 4 e z >= 3 que satisfazem:
x >= 3,
y >= 2,
z >= 4
Simplificando, isso se torna:
(3,2,4), (3,3,4), (3,4,4), (4,2,4), (4,3,4), (4,4,4)
Portanto, as cotas superiores são todas as triplas onde é 3 ou 4, é 2, 3 ou 4, e é 4. Essas triplas são:

Passo 5

Agora, vamos determinar o ínfimo ( (1,1,1), (1,1,2), (1,1,3), (2,1,1), (2,1,2), (2,1,3) ) e o supremo ( ) do conjunto . O ínfimo é a maior cota inferior, ou seja, a mais “alta” entre todas as cotas inferiores. Para encontrar isso, comparamos as triplas das cotas inferiores e escolhemos aquelas que não são menores do que nenhuma outra.
Analisando as cotas inferiores:
A maior entre elas, considerando a relação de ordem, é . Portanto, .

Passo 6

Similarly, the supremum ( (3,2,4), (3,3,4), (3,4,4), (4,2,4), (4,3,4), (4,4,4) ) is the smallest upper bound, or the “lowest” among all upper bounds. Vamos comparar as cotas superiores:
A menor entre elas, considerando a relação de ordem, é . Portanto, .

Resposta

As cotas inferiores de são e as cotas superiores são . O ínfimo de é e o supremo de é .

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