Seja
com a relação de ordem
. Encontre todas as cotas inferiores e todas as cotas superiores do conjunto
. Determine, se existirem,
e
.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
, que são todas as triplas possíveis onde cada elemento pode ser 1, 2, 3 ou 4. A relação de ordem que estamos usando é definida da seguinte forma: um elemento
é menor ou igual a
se, e somente se,
,
e
. Nosso objetivo é encontrar todas as cotas inferiores (que estão abaixo) e superiores (que estão acima) do conjunto
. Além disso, precisamos determinar se existem o ínfimo (
) e o supremo (
) desse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são cotas inferiores e superiores. Uma cota inferior de
é um elemento que é menor ou igual a todos os elementos de
na relação de ordem dada. Da mesma forma, uma cota superior é um elemento que é maior ou igual a todos os elementos de
.
Passo 3
Vamos identificar as cotas inferiores de
. Precisamos encontrar todas as triplas
em
que satisfazem:
Simplificando, isso se torna:
Portanto, as cotas inferiores são todas as triplas onde
é 1 ou 2,
é 1, e
é 1, 2 ou 3. Essas triplas são:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as cotas superiores de
. Precisamos encontrar todas as triplas
em
que satisfazem:
Simplificando, isso se torna:
Portanto, as cotas superiores são todas as triplas onde
é 3 ou 4,
é 2, 3 ou 4, e
é 4. Essas triplas são:
Passo 5
Agora, vamos determinar o ínfimo (
) e o supremo (
) do conjunto
. O ínfimo é a maior cota inferior, ou seja, a mais “alta” entre todas as cotas inferiores. Para encontrar isso, comparamos as triplas das cotas inferiores e escolhemos aquelas que não são menores do que nenhuma outra.
Analisando as cotas inferiores:
A maior entre elas, considerando a relação de ordem, é
. Portanto,
.
Passo 6
Similarly, the supremum (
) is the smallest upper bound, or the “lowest” among all upper bounds. Vamos comparar as cotas superiores:
A menor entre elas, considerando a relação de ordem, é
. Portanto,
.
Resposta
As cotas inferiores de
são
e as cotas superiores são
. O ínfimo de
é
e o supremo de
é
.