Seja
um diâmetro do círculo
e seja
um ponto de
diferente de
e
. Usando a distância em coordenadas, mostre que o triângulo
é retângulo em
.
Passo 1
Então, a gente tem um círculo
com um diâmetro
e um ponto
nesse círculo que não é nem
nem
. O objetivo aqui é mostrar que o triângulo
forma um ângulo reto no ponto
. Vamos usar coordenadas e a fórmula da distância para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar o círculo no plano cartesiano para facilitar os cálculos. Vamos supor que o diâmetro
esteja alinhado no eixo
. Assim, podemos escolher as coordenadas de
como
e de
como
, onde
é o raio do círculo.
Passo 3
O ponto
está no círculo, então suas coordenadas vão satisfazer a equação do círculo:
. Vamos chamar as coordenadas de
de
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as distâncias dos lados do triângulo usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Então:
Passo 5
Para o triângulo ser retângulo em
, deve valer o Teorema de Pitágoras:
Vamos calcular
:
Somando:
Como
, substituímos:
Resposta
Portanto, o triângulo
satisfaz o Teorema de Pitágoras, mostrando que ele é retângulo em
.