Seja A B um diâmetro do círculo mathscrC e seja C um ponto de mathscrC diferente de A e B. Usando a distância em coordenadas, mostre que o triângulo A B C é retângulo em C.

Passo 1

Então, a gente tem um círculo mathscrC com um diâmetro AB e um ponto C nesse círculo que não é nem A nem B. O objetivo aqui é mostrar que o triângulo ABC forma um ângulo reto no ponto C. Vamos usar coordenadas e a fórmula da distância para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar o círculo no plano cartesiano para facilitar os cálculos. Vamos supor que o diâmetro AB esteja alinhado no eixo x. Assim, podemos escolher as coordenadas de A como (-r, 0) e de B como (r, 0), onde r é o raio do círculo.

Passo 3

O ponto C está no círculo, então suas coordenadas vão satisfazer a equação do círculo: x^2 + y^2 = r^2. Vamos chamar as coordenadas de C de (x, y).

Passo 4

Agora, vamos calcular as distâncias dos lados do triângulo usando a fórmula da distância entre dois pontos:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Então:
  • AC = raiz(x + r)^2 + y^2
  • BC = raiz(x - r)^2 + y^2
  • AB = raiz(2r)^2 + 0^2 = 2r

Passo 5

Para o triângulo ser retângulo em C, deve valer o Teorema de Pitágoras:
AC^2 + BC^2 = AB^2
Vamos calcular AC^2 + BC^2:
AC^2 = (x + r)^2 + y^2 = x^2 + 2rx + r^2 + y^2
BC^2 = (x - r)^2 + y^2 = x^2 - 2rx + r^2 + y^2
Somando:
AC^2 + BC^2 = 2x^2 + 2r^2 + 2y^2
Como x^2 + y^2 = r^2, substituímos:
AC^2 + BC^2 = 2r^2 + 2r^2 = 4r^2 = AB^2

Resposta

Portanto, o triângulo ABC satisfaz o Teorema de Pitágoras, mostrando que ele é retângulo em C.

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