Seja A B um diâmetro do círculo mathscrC e seja C um ponto de mathscrC diferente de A e B. Usando a distância em coordenadas, mostre que o triângulo A B C é retângulo em C.

Passo 1

Então, a gente tem um círculo mathscrC com um diâmetro AB e um ponto C nesse círculo que não é nem A nem B. O objetivo aqui é mostrar que o triângulo ABC forma um ângulo reto no ponto C. Vamos usar coordenadas e a fórmula da distância para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar o círculo no plano cartesiano para facilitar os cálculos. Vamos supor que o diâmetro AB esteja alinhado no eixo x. Assim, podemos escolher as coordenadas de A como (-r, 0) e de B como (r, 0), onde r é o raio do círculo.

Passo 3

O ponto C está no círculo, então suas coordenadas vão satisfazer a equação do círculo: x^2 + y^2 = r^2. Vamos chamar as coordenadas de C de (x, y).

Passo 4

Agora, vamos calcular as distâncias dos lados do triângulo usando a fórmula da distância entre dois pontos:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Então:
  • AC = raiz(x + r)^2 + y^2
  • BC = raiz(x - r)^2 + y^2
  • AB = raiz(2r)^2 + 0^2 = 2r

Passo 5

Para o triângulo ser retângulo em C, deve valer o Teorema de Pitágoras:
AC^2 + BC^2 = AB^2
Vamos calcular AC^2 + BC^2:
AC^2 = (x + r)^2 + y^2 = x^2 + 2rx + r^2 + y^2
BC^2 = (x - r)^2 + y^2 = x^2 - 2rx + r^2 + y^2
Somando:
AC^2 + BC^2 = 2x^2 + 2r^2 + 2y^2
Como x^2 + y^2 = r^2, substituímos:
AC^2 + BC^2 = 2r^2 + 2r^2 = 4r^2 = AB^2

Resposta

Portanto, o triângulo ABC satisfaz o Teorema de Pitágoras, mostrando que ele é retângulo em C.

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Calcule os seguintes produtos:
d) [cccc1 & -1 & 5 & 0 2 & 3 & 7 & 1][ll1 & 1 2 & 1 3 & 1 1 & 1]
a) r1:ly=2 x-3 z=-x+5
e r2:ly=-3 x+7 z=x+1
b) r1: x-32=y+1-3=z-24
e r2:lx=-1+t y=4-t z=-8+3 t
c) r1:ly=2 x-3 z=-x-10
e r2: x=y-43=z+1-2
d) rl:lx=2-t y=3-5 t z=6-6 t
e) r2:lx=-3+6 h y=1+7 h z=-1+13 h
e) r1:(x, y, z)=(2,4,1)+t(1,-2,3)
e r2:(x, y, z)=(-1,2,5)+t(4,3,-2)
f) r1:lx=2+t y=4-t z=-t
e r2:ly=6-x z=2-x
Calcule os seguintes produtos:
b) [ll1 & 0 0 & 1][ll2 & 3 5 & 7][cc-1 & 0 1 & 2][ll0 & 1 1 & 0]
Seja A B C D um quadrilátero de lados A B, B C, C D e D A. Sejam E e F os pontos médios dos lados A B e C D, respectivamente. Mostre que:
a) E F=12(A D+B C)
b) E F=12(A C+B D)