Seja um diâmetro do círculo e seja um ponto de diferente de e . Usando a distância em coordenadas, mostre que o triângulo é retângulo em .
Passo 1
Então, a gente tem um círculo com um diâmetro e um ponto nesse círculo que não é nem nem . O objetivo aqui é mostrar que o triângulo forma um ângulo reto no ponto . Vamos usar coordenadas e a fórmula da distância para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar o círculo no plano cartesiano para facilitar os cálculos. Vamos supor que o diâmetro esteja alinhado no eixo . Assim, podemos escolher as coordenadas de como e de como , onde é o raio do círculo.
Passo 3
O ponto está no círculo, então suas coordenadas vão satisfazer a equação do círculo: . Vamos chamar as coordenadas de de .
Passo 4
Agora, vamos calcular as distâncias dos lados do triângulo usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Então:
Passo 5
Para o triângulo ser retângulo em , deve valer o Teorema de Pitágoras:
Vamos calcular :
Somando:
Como , substituímos:
Resposta
Portanto, o triângulo satisfaz o Teorema de Pitágoras, mostrando que ele é retângulo em .