Seja B in M2 times 2 uma matriz fixada. Prove que T: M2 times 2 M2 times 2, dada por T(A)= A B-B A, é uma transformação linear não sobrejetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a transformação , que leva uma matriz e retorna , onde é uma matriz fixa , é uma transformação linear e que não é sobrejetora. Vamos precisar entender o que são transformações lineares e sobrejetoras para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades para quaisquer matrizes e e qualquer escalar :
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar se cumpre essas propriedades.

Passo 3

Verificando a adição:
Vamos calcular T(A + C) = (A + C)B - B(A + C) = AB + CB - BA - BC = AB - BA + CB - BC :
T(A) + T(C) = (AB - BA) + (CB - BC) = AB - BA + CB - BC
Agora, somando e :
Como , a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Verificando a homogeneidade:
Vamos calcular T(kA) = (kA)B - B(kA) = kAB - kBA = k(AB - BA) = kT(A) :
Então, , o que confirma que a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Passo 5

Como as duas propriedades da linearidade são satisfeitas, podemos concluir que é, de fato, uma transformação linear.

Passo 6

Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se para todo elemento no espaço de chegada (no caso, toda matriz ), existe pelo menos uma matriz no espaço de partida tal que seja igual a esse elemento.
Para provar que não é sobrejetora, basta encontrar uma matriz no espaço de chegada que não pode ser obtida por nenhum através de .

Passo 7

Considere a matriz identidade I = 1 & 0 0 & 1 , que é uma matriz AB - BA = I com 1s na diagonal principal e 0s no restante:
Vamos ver se existe uma matriz tal que , ou seja:

Passo 8

Note que para qualquer matriz tr(AB) = tr(BA) , tr(AB - BA) = tr(AB) - tr(BA) = 0 é uma matriz com traço zero. Isso porque:
tr(I) = 1 + 1 = 2 neq 0
Portanto:
Mas a matriz identidade tem traço igual a 2:

Passo 9

Como não existe nenhuma matriz que satisfaça , concluímos que não pertence ao conjunto imagem de . Portanto, não é sobrejetora.

Resposta

A transformação definida por é uma transformação linear que não é sobrejetora.

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