Seja
uma matriz fixada. Prove que
, dada por
, é uma transformação linear não sobrejetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a transformação
, que leva uma matriz
e retorna
, onde
é uma matriz fixa
, é uma transformação linear e que não é sobrejetora. Vamos precisar entender o que são transformações lineares e sobrejetoras para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades para quaisquer matrizes
e
e qualquer escalar
:
- Adição:
- Homogeneidade:
Vamos verificar se
cumpre essas propriedades.
Passo 3
Verificando a adição:
Vamos calcular
:
Agora, somando
e
:
Como
, a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Verificando a homogeneidade:
Vamos calcular
:
Então,
, o que confirma que a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Passo 5
Como as duas propriedades da linearidade são satisfeitas, podemos concluir que
é, de fato, uma transformação linear.
Passo 6
Agora, vamos verificar se
é sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se para todo elemento no espaço de chegada (no caso, toda matriz
), existe pelo menos uma matriz
no espaço de partida tal que
seja igual a esse elemento.
Para provar que
não é sobrejetora, basta encontrar uma matriz no espaço de chegada que não pode ser obtida por nenhum
através de
.
Passo 7
Considere a matriz identidade
, que é uma matriz
com 1s na diagonal principal e 0s no restante:
Vamos ver se existe uma matriz
tal que
, ou seja:
Passo 8
Note que para qualquer matriz
,
é uma matriz com traço zero. Isso porque:
Portanto:
Mas a matriz identidade
tem traço igual a 2:
Passo 9
Como não existe nenhuma matriz
que satisfaça
, concluímos que
não pertence ao conjunto imagem de
. Portanto,
não é sobrejetora.
Resposta
A transformação
definida por
é uma transformação linear que não é sobrejetora.