Seja
o subespaço de
dos polinômios que se anulam em 2 e 3 . Determine uma base e a dimensão de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base e a dimensão de um subespaço
de polinômios de grau no máximo 3, ou seja,
. Esse subespaço
é formado pelos polinômios que se anulam nos números 2 e 3. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços de polinômios, fatores de polinômios e dimensões de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio que se anula em 2 e 3 significa que 2 e 3 são raízes desse polinômio. Isso quer dizer que
e
são fatores do polinômio. Então, qualquer polinômio
em
pode ser escrito como:
onde
é outro polinômio que vai determinar o grau do
.
Passo 3
Agora, como
está em
, que são polinômios de grau no máximo 3, o grau de
não pode exceder 3. Já que
é um polinômio de grau 2,
precisa ser um polinômio de grau no máximo 1 (um polinômio linear). Então, podemos escrever:
onde
e
são números reais.
Passo 4
Substituindo
na expressão de
, temos:
Vamos expandir isso para entender melhor:
Esse polinômio está agora expresso em termos de
e
, que são os coeficientes que vão variar.
Passo 5
Para encontrar uma base para
, precisamos identificar os polinômios que formam um conjunto gerador e que são linearmente independentes. Observando a expressão de
, vemos que podemos considerar os polinômios correspondentes a
e
:
Esses dois polinômios vão gerar todo o subespaço
e são linearmente independentes.
Passo 6
Agora, vamos verificar a dimensão de
. A dimensão de um subespaço é o número de vetores em uma base desse subespaço. Como identificamos dois polinômios
e
que formam uma base para
, a dimensão de
é 2.
Resposta
Uma base para
é formada por
e a dimensão de
é 2.