Seja V o subespaço de P3(R) dos polinômios que se anulam em 2 e 3 . Determine uma base e a dimensão de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base e a dimensão de um subespaço de polinômios de grau no máximo 3, ou seja, . Esse subespaço é formado pelos polinômios que se anulam nos números 2 e 3. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços de polinômios, fatores de polinômios e dimensões de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio que se anula em 2 e 3 significa que 2 e 3 são raízes desse polinômio. Isso quer dizer que p(x) = (x - 2)(x - 3)q(x) e são fatores do polinômio. Então, qualquer polinômio em pode ser escrito como:
onde é outro polinômio que vai determinar o grau do .

Passo 3

Agora, como q(x) = a x + b está em , que são polinômios de grau no máximo 3, o grau de não pode exceder 3. Já que é um polinômio de grau 2, precisa ser um polinômio de grau no máximo 1 (um polinômio linear). Então, podemos escrever:
onde e são números reais.

Passo 4

Substituindo p(x) = (x - 2)(x - 3)(a x + b) na expressão de p(x) = a(x - 2)(x - 3)x + b(x - 2)(x - 3) , temos:
p(x) = a x (x - 2)(x - 3) + b (x - 2)(x - 3)
Vamos expandir isso para entender melhor:
Esse polinômio está agora expresso em termos de e , que são os coeficientes que vão variar.

Passo 5

Para encontrar uma base para p1(x) = (x - 2)(x - 3)x , precisamos identificar os polinômios que formam um conjunto gerador e que são linearmente independentes. Observando a expressão de p2(x) = (x - 2)(x - 3) , vemos que podemos considerar os polinômios correspondentes a e :
Esses dois polinômios vão gerar todo o subespaço e são linearmente independentes.

Passo 6

Agora, vamos verificar a dimensão de . A dimensão de um subespaço é o número de vetores em uma base desse subespaço. Como identificamos dois polinômios e que formam uma base para , a dimensão de é 2.

Resposta

Uma base para é formada por e a dimensão de é 2.

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