(2,0) Sejam A, B matrizes invertíveis, a solução da equação matricial A^-1 cdot B cdot X^T=C^T é X=A^T cdot(B^-1)^T cdot C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação envolvendo matrizes: . Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes inversas e transpostas. Precisamos lembrar como manipular essas operações pra isolar o na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa é a matriz inversa de , que quando multiplicada por dá a matriz identidade: . Isso é útil porque a gente pode “desfazer” a multiplicação por .

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados da equação original por A cdot (A^-1 cdot B cdot X^T) = A cdot C^T para eliminar I cdot B cdot X^T = A cdot C^T do lado esquerdo:
B cdot X^T = A cdot C^T
Sabendo que , a equação fica:
E como é a identidade, podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, queremos isolar B^-1 cdot B cdot X^T = B^-1 cdot A cdot C^T . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados pela inversa de I cdot X^T = B^-1 cdot A cdot C^T , que é X^T = B^-1 cdot A cdot C^T :
Novamente, , então temos:
Simplificando:

Passo 5

A gente quer X = (B^-1 cdot A cdot C^T)^T , não . Para tirar a transposta, lembramos que . Então, vamos transpor ambos os lados da equação:

Passo 6

Agora, aplicamos a propriedade da transposta de um produto de matrizes, que diz que X = (C^T)^T cdot A^T cdot (B^-1)^T . Aplicando isso aqui:
X = C cdot A^T cdot (B^-1)^T
Simplificando :

Passo 7

Por fim, podemos reordenar os termos para deixar mais claro:
X = A^T cdot (B^-1)^T cdot C

Resposta

A solução da equação matricial é:
X = A^T cdot (B^-1)^T cdot C

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