Sejam
e
conjuntos abertos. Mostre que o conjunto
é um conjunto aberto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o conjunto
é aberto, sabendo que
e
também são conjuntos abertos. Aqui, estamos trabalhando com topologia, uma área da matemática que estuda propriedades que permanecem invariantes sob certas transformações. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser aberto e como a multiplicação de elementos de conjuntos abertos se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, existe uma vizinhança ao redor desse ponto que também está totalmente dentro do conjunto. Ou seja, você pode “andar um pouquinho” em qualquer direção a partir de um ponto e ainda estar dentro do conjunto.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
é aberto. Isso significa que, para qualquer elemento
em
, precisamos encontrar uma vizinhança ao redor de
que também esteja dentro de
.
Passo 4
Como
, existe
e
tal que
. Como
e
são abertos, existem vizinhanças ao redor de
e
que estão completamente dentro de
e
, respectivamente.
Passo 5
Vamos considerar pequenas variações em
e
. Se aumentarmos ou diminuirmos
e
um pouquinho, o produto
também vai variar de forma contínua. Isso significa que podemos encontrar um intervalo ao redor de
que ainda consiste em produtos de elementos de
e
.
Passo 6
Formalizando, podemos usar a continuidade da multiplicação na reta real. A multiplicação é uma função contínua, e a imagem de um conjunto aberto por uma função contínua também é aberta. Então, como
e
são abertos e a multiplicação é contínua,
deve ser aberto.
Resposta
Portanto, mostramos que
é um conjunto aberto.
Exercícios relacionados
Seja
aberto. Para
fixo e qualquer, mostre que o conjunto
é um conjunto aberto.
(FUVEST) Calcule o valor de
.
Sabendo que
,
, obtenha
.
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
.
(b) , sendo
.
(b)