Seja um operador linear tal que e .
(d) Té sobrejetora? Justifique sua resposta. Té injetora? Justifique sua resposta. T e bijetora? lustifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um operador linear . A gente precisa descobrir se esse operador é sobrejetora, injetora e bijetora. Para isso, vamos precisar entender como esses conceitos funcionam na teoria das transformações lineares. Vamos analisar as imagens dos vetores dados e usar a matriz associada a para verificar essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz que representa o operador linear . Sabemos que transforma os vetores da base canônica de . Dado:
Podemos montar a matriz colocando essas imagens como colunas:
Passo 3
Para verificar se é sobrejetora, precisamos checar se a imagem de cobre todo o espaço . Isso acontece se a matriz tiver posto 3, ou seja, se as colunas de forem linearmente independentes.
Passo 4
Calcular o determinante de vai nos ajudar a saber se as colunas são independentes. Se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearesmente independentes e , então é invertível.
Vamos calcular o determinante:
Como , a matriz tem posto 3.
Passo 5
Como a matriz tem posto 3, isso significa que a imagem de é todo . Logo, é sobrejetora.
Passo 6
Agora, para saber se é injetora, também verificamos se a matriz é invertível, o que já concluímos no passo anterior. Como , é invertível, e isso implica que é injetora.
Passo 7
Finalmente, se é tanto sobrejetora quanto injetora, então é bijetora.
Resposta
O operador linear é sobrejetora, injetora e, portanto, bijetora.