Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que T(1,0,1)=(1,1,0), T(0,1,0)=(1,0,-1) e T(0,1,1)=(0,0,1).
(d) Té sobrejetora? Justifique sua resposta. Té injetora? Justifique sua resposta. T e bijetora? lustifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um operador linear . A gente precisa descobrir se esse operador é sobrejetora, injetora e bijetora. Para isso, vamos precisar entender como esses conceitos funcionam na teoria das transformações lineares. Vamos analisar as imagens dos vetores dados e usar a matriz associada a para verificar essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz T(1,0,1) = (1,1,0), T(0,1,0) = (1,0,-1), T(0,1,1) = (0,0,1) que representa o operador linear A = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 . Sabemos que transforma os vetores da base canônica de . Dado:
Podemos montar a matriz colocando essas imagens como colunas:

Passo 3

Para verificar se é sobrejetora, precisamos checar se a imagem de cobre todo o espaço . Isso acontece se a matriz tiver posto 3, ou seja, se as colunas de forem linearmente independentes.

Passo 4

Calcular o determinante de det(A) = 1 cdot (0 cdot 1 - (-1) cdot 0) - 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) + 0 cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot 0) = 1 cdot 0 - 1 cdot 1 + 0 cdot (-1) = -1 vai nos ajudar a saber se as colunas são independentes. Se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearesmente independentes e , então é invertível.
Vamos calcular o determinante:
Como , a matriz tem posto 3.

Passo 5

Como a matriz tem posto 3, isso significa que a imagem de é todo . Logo, é sobrejetora.

Passo 6

Agora, para saber se é injetora, também verificamos se a matriz é invertível, o que já concluímos no passo anterior. Como , é invertível, e isso implica que é injetora.

Passo 7

Finalmente, se é tanto sobrejetora quanto injetora, então é bijetora.

Resposta

O operador linear é sobrejetora, injetora e, portanto, bijetora.

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