(a) Seja
dado por
. Determine
para que
seja auto-adjunto.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o valor de
tal que a transformação linear
, definida por
, seja auto-adjunta. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e operadores auto-adjuntos. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma transformação ser auto-adjunta e como isso se relaciona com a matriz associada à transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
é auto-adjunta se ela for igual à sua adjunta
. No contexto de espaços vetoriais com produto interno padrão, como
com o produto interno usual, a adjunta de
é representada pela matriz transposta de
.
Passo 3
Vamos representar a transformação
por uma matriz. Dado
, a matriz associada a
é:
Passo 4
A matriz adjunta
de
é a transposta de
, ou seja:
Passo 5
Para que
seja auto-adjunta, precisamos que
. Portanto, igualamos as duas matrizes:
[
]
Passo 6
Comparando os elementos correspondentes das matrizes, temos:
-
(já é verdadeiro) -
-
-
(já é verdadeiro)
Passo 7
Das equações
e
, podemos resolver para
:
Isso nos dá duas soluções possíveis:
Resposta
Os valores de
que tornam
auto-adjunta são
e
.
Exercícios relacionados
Seja
um operador linear tal que
e
.
(d) Té sobrejetora? Justifique sua resposta. Té injetora? Justifique sua resposta. T e bijetora? lustifique sua resposta.
(d) Té sobrejetora? Justifique sua resposta. Té injetora? Justifique sua resposta. T e bijetora? lustifique sua resposta.
Considere os vetores
e
. Calcule e desenhe os vetores
e
.
Seja
uma base de
. Definimos
Mostre que para todo
também é uma base de
.
Seja
um operador linear tal que
e
.
(f) Té isomorfismo? Se for, calcule sua inversa.
(f) Té isomorfismo? Se for, calcule sua inversa.