(a) Seja T: R^2 R^2 dado por T(x, y)=(x+k y, k^2 x+y). Determine k para que T seja auto-adjunto.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o valor de tal que a transformação linear , definida por , seja auto-adjunta. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e operadores auto-adjuntos. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma transformação ser auto-adjunta e como isso se relaciona com a matriz associada à transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é auto-adjunta se ela for igual à sua adjunta . No contexto de espaços vetoriais com produto interno padrão, como com o produto interno usual, a adjunta de é representada pela matriz transposta de .

Passo 3

Vamos representar a transformação A = 1 & k k^2 & 1 por uma matriz. Dado , a matriz associada a é:

Passo 4

A matriz adjunta A^* = A^T = 1 & k^2 k & 1 de é a transposta de , ou seja:

Passo 5

Para que 1 & k k^2 & 1 = 1 & k^2 k & 1 seja auto-adjunta, precisamos que . Portanto, igualamos as duas matrizes:

[


]

Passo 6

Comparando os elementos correspondentes das matrizes, temos:
  1. (já é verdadeiro)
  2. (já é verdadeiro)

Passo 7

Das equações k^2 - k = 0 k(k - 1) = 0 e k = 0 ou k = 1 , podemos resolver para :
Isso nos dá duas soluções possíveis:

Resposta

Os valores de que tornam auto-adjunta são e .

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