Seja B=v1, v2 a base de R^2 constituída pelos vectores
v1=(1,0) e v2=(1,1)
Calcule as componentes do vector (3,5) nesta base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as componentes do vetor (3,5) na base B = v1, v2, onde v1 = (1,0) e v2 = (1,1). Isso faz parte da matéria de álgebra linear, mais especificamente sobre mudança de base e combinação linear. Para resolver, vamos precisar expressar o vetor dado como uma combinação dos vetores da base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa representar o vetor (3,5) na base B. Queremos encontrar números a e b tais que:
(3,5) = a cdot v1 + b cdot v2
Isso é uma combinação linear dos vetores da base.

Passo 3

Vamos substituir os valores dos vetores da base na equação:
(3,5) = a cdot (1,0) + b cdot (1,1)
Multiplicando os escalares pelos vetores:
(3,5) = (a cdot 1, a cdot 0) + (b cdot 1, b cdot 1) = (a + b, 0 + b)
Agora, temos duas equações:
  1. a + b = 3
  2. b = 5

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
  • Da segunda equação, já sabemos que b = 5.
  • Substituindo b na primeira equação:
a + 5 = 3 Rightarrow a = 3 - 5 Rightarrow a = -2

Resposta

As componentes do vetor (3,5) na base B são a = -2 e b = 5. Ou seja, na base B, o vetor (3,5) é representado por (-2, 5).

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