Sejam os vetores u=(2,3,-4) e v=(0,3,-3) em R^3. Faça o que se pede:
c) Para que valores de k o vetor w=(6,12, k) é combinação linear de u e v ?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores de para os quais o vetor é uma combinação linear dos vetores e em . Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, entendemos que dizer que w = a cdot u + b cdot v é uma combinação linear de (6, 12, k) = a cdot (2, 3, -4) + b cdot (0, 3, -3) e significa que existem escalares e tais que:
ou seja,

Passo 3

Agora, vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
6 = 2a + 0b 12 = 3a + 3b k = -4a - 3b
Isso nos dá um sistema de três equações com duas incógnitas e .

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação para encontrar 6 = 2a implies a = 62 = 3 :

Passo 5

Com o valor de 12 = 3(3) + 3b implies 12 = 9 + 3b implies 3b = 3 implies b = 1 encontrado, substituímos na segunda equação para encontrar :

Passo 6

Finalmente, substituímos os valores de k = -4(3) - 3(1) = -12 - 3 = -15 e na terceira equação para encontrar :

Resposta

O valor de para o qual o vetor é uma combinação linear de e é .

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