Sejam os vetores e em . Faça o que se pede:
c) Para que valores de k o vetor é combinação linear de e ?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores de para os quais o vetor é uma combinação linear dos vetores e em . Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, entendemos que dizer que é uma combinação linear de e significa que existem escalares e tais que:
ou seja,
Passo 3
Agora, vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
Isso nos dá um sistema de três equações com duas incógnitas e .
Passo 4
Vamos resolver a primeira equação para encontrar 6 = 2a implies a = 62 = 3 :
Passo 5
Com o valor de 12 = 3(3) + 3b implies 12 = 9 + 3b implies 3b = 3 implies b = 1 encontrado, substituímos na segunda equação para encontrar :
Passo 6
Finalmente, substituímos os valores de k = -4(3) - 3(1) = -12 - 3 = -15 e na terceira equação para encontrar :
Resposta
O valor de para o qual o vetor é uma combinação linear de e é .