Seja
a transformação linear definida por
Sejam
e
bases ordenadas de
e
, respectivamente. Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear
definida por:
E temos duas bases:
-
para -
para
A gente precisa encontrar a matriz da transformação
. Para isso, vamos seguir alguns passos usando conceitos de mudança de base e representação matricial de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é a matriz que representa a transformação
passando da base
para a base
. Para construir essa matriz, precisamos ver como
age nos vetores da base
e expressar os resultados na base
.
Passo 3
Vamos começar aplicando a transformação
em cada vetor da base
.
- Para o vetor
:
- Para o vetor
:
- Para o vetor
:
Passo 4
Agora, temos as imagens dos vetores da base
na base canônica de
:
Mas queremos expressar esses vetores na base
. Para isso, vamos resolver sistemas lineares para cada imagem.
Passo 5
Vamos encontrar as coordenadas de cada
na base
. Ou seja, para cada
, precisamos encontrar
e
.
- Para
:
Resolvendo:
Substituindo na segunda equação:
Então,
- Para
:
Resolvendo:
Substituindo na segunda equação:
Então,
- Para
:
Resolvendo:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 6
Agora, colocando essas coordenadas como colunas na matriz
, temos:
Resposta
A matriz da transformação linear
em relação às bases
e
é: