Sejam e bases ordenadas de e , respectivamente. Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por:
E temos duas bases:
para
para
A gente precisa encontrar a matriz da transformação . Para isso, vamos seguir alguns passos usando conceitos de mudança de base e representação matricial de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que é a matriz que representa a transformação passando da base para a base . Para construir essa matriz, precisamos ver como age nos vetores da base e expressar os resultados na base .
Passo 3
Vamos começar aplicando a transformação em cada vetor da base .
Para o vetor :
Para o vetor :
Para o vetor :
Passo 4
Agora, temos as imagens dos vetores da base na base canônica de :
Mas queremos expressar esses vetores na base . Para isso, vamos resolver sistemas lineares para cada imagem.
Passo 5
Vamos encontrar as coordenadas de cada na base . Ou seja, para cada , precisamos encontrar e .
Para :
Resolvendo:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Para :
Resolvendo:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Para :
Resolvendo:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 6
Agora, colocando essas coordenadas como colunas na matriz , temos:
Resposta
A matriz da transformação linear em relação às bases e é: