Seja T: R^3 R^2 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(2 x+y-z, 3 x-2 y+4 z)
Sejam alpha=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) e beta=(1,3),(1,4) bases ordenadas de R^3 e R^2, respectivamente. Determine [T]beta^alpha I

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear T(x, y, z) = (2x + y - z, 3x - 2y + 4z) definida por:
E temos duas bases:
  • para
  • para
A gente precisa encontrar a matriz da transformação . Para isso, vamos seguir alguns passos usando conceitos de mudança de base e representação matricial de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é a matriz que representa a transformação passando da base para a base . Para construir essa matriz, precisamos ver como age nos vetores da base e expressar os resultados na base .

Passo 3

Vamos começar aplicando a transformação T(1,1,1) = (2(1) + 1 - 1, 3(1) - 2(1) + 4(1)) = (2 + 1 - 1, 3 - 2 + 4) = (2, 5) em cada vetor da base T(1,1,0) = (2(1) + 1 - 0, 3(1) - 2(1) + 4(0)) = (2 + 1, 3 - 2) = (3, 1) .
  1. Para o vetor T(1,0,0) = (2(1) + 0 - 0, 3(1) - 2(0) + 4(0)) = (2, 3) :
  1. Para o vetor :
  1. Para o vetor :

Passo 4

Agora, temos as imagens dos vetores da base T(v1) = (2, 5), T(v2) = (3, 1), T(v3) = (2, 3) na base canônica de :
Mas queremos expressar esses vetores na base . Para isso, vamos resolver sistemas lineares para cada imagem.

Passo 5

Vamos encontrar as coordenadas de cada a + b = 2 3a + 4b = 5 na base a = 2 - b . Ou seja, para cada 3(2 - b) + 4b = 5 6 - 3b + 4b = 5 b = 5 - 6 = -1 a = 2 - (-1) = 3 , precisamos encontrar 3 -1 e a + b = 3 3a + 4b = 1 .
  1. Para a = 3 - b :
3(3 - b) + 4b = 1 9 - 3b + 4b = 1 b = 1 - 9 = -8 a = 3 - (-8) = 11
Resolvendo:
11 -8
Substituindo na segunda equação:
a + b = 2 3a + 4b = 3
Então, a = 2 - b
  1. Para 3(2 - b) + 4b = 3 6 - 3b + 4b = 3 b = 3 - 6 = -3 a = 2 - (-3) = 5 :
5 -3
Resolvendo:
Substituindo na segunda equação:
Então,
  1. Para :
Resolvendo:
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 6

Agora, colocando essas coordenadas como colunas na matriz [T]beta^alpha = 3 & 11 & 5 -1 & -8 & -3 , temos:

Resposta

A matriz da transformação linear [T]beta^alpha = 3 & 11 & 5 -1 & -8 & -3 em relação às bases e é:

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