Sejam uma base de V^3 e alpha, beta, gamma números reais. Mostre que C=(alpha v1, beta v2, gamma v3) é base de V^3 se, e somente se, alpha, beta e gamma são não nulos.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma base de um espaço vetorial tridimensional . Isso significa que esses três vetores são lineares e espalam todo o espaço . Agora, a questão quer que a gente mostre que se a gente multiplica cada vetor da base original por um número real não nulo (), formando uma nova coleção de vetores , essa nova coleção também será uma base de se e somente se esses números () forem diferentes de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, o que significa ser linearmente independente e como a multiplicação por escalares afeta esses conceitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que espalham todo o espaço. Ser linearmente independente significa que nenhum vetor da base pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Espalhar todo o espaço quer dizer que qualquer vetor em pode ser expresso como uma combinação linear desses vetores da base.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que acontece quando a gente multiplica cada vetor da base original por um número real não nulo. Multiplicar um vetor por um escalar não nulo apenas “esticula” ou “encolhe” o vetor, mas não muda a direção dele (a menos que o escalar seja negativo, que só inverte a direção). Então, se são diferentes de zero, estamos apenas modificando o comprimento (e possivelmente a direção) dos vetores, mas eles continuam sendo apontados em direções únicas e distintas.
Passo 4
Vamos verificar se os vetores em lambda1 (alpha v1) + lambda2 (beta v2) + lambda3 (gamma v3) = 0 são linearmente independentes. Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
Como é uma base, sabemos que são linearmente independentes. Isso implica que os coeficientes devem ser zero:
Passo 5
Como lambda1 = 0, lambda2 = 0, lambda3 = 0 são diferentes de zero, podemos dividir cada equação por esses números:
Isso mostra que a única solução para a combinação linear ser zero é que todos os coeficientes sejam zero. Portanto, os vetores em são linearmente independentes.
Passo 6
Além disso, como cada vetor em é uma combinação escalar dos vetores de , e espalha todo o espaço , a coleção também espalha . Isso porque, ajustando os escalares , ainda conseguimos combinar os vetores de para alcançar qualquer vetor em .
Passo 7
Portanto, concluímos que é uma base de se e somente se são números reais diferentes de zero.
Resposta
A coleção é uma base de se, e somente se, e são números diferentes de zero.