Sejam u e v vetores. Calcule |u-v|, sabendo que |u|=13,|v|=19 e |u+v|=24.
Sugestão. Use o fato que para qualquer vetor w vale que |w|^2=w cdot w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u e v, e sabe as normas deles: |u| = 13, |v| = 19 e a norma da soma |u + v| = 24. O que a gente precisa encontrar é a norma da diferença desses vetores, ou seja, |u - v|. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente o produto escalar (ou produto ponto) e as propriedades das normas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor w pode ser calculada usando o produto escalar: |w|^2 = w cdot w. Então, podemos aplicar isso para u + v e u - v.

Passo 3

Vamos calcular |u + v|^2. Sabemos que:
|u + v|^2 = (u + v) cdot (u + v) = |u|^2 + 2,u cdot v + |v|^2
Substituindo os valores conhecidos:
24^2 = 13^2 + 2,u cdot v + 19^2
576 = 169 + 2,u cdot v + 361

Passo 4

Agora, vamos resolver para u cdot v:
576 = 530 + 2,u cdot v
576 - 530 = 2,u cdot v
46 = 2,u cdot v
u cdot v = 23

Passo 5

Agora, vamos calcular |u - v|^2 usando a mesma lógica:
|u - v|^2 = (u - v) cdot (u - v) = |u|^2 - 2,u cdot v + |v|^2
Substituindo os valores:
|u - v|^2 = 13^2 - 2 times 23 + 19^2
|u - v|^2 = 169 - 46 + 361
|u - v|^2 = 484

Resposta

Portanto, a norma da diferença dos vetores é:
|u - v| = raiz484 = 22

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