Seja E uma base ortonormal de V^3. Determine as coordenadas na base E da projeção do vetor w na direção do vetor v nos seguintes casos:
(1) [w]E=(1,-1,2) e[v]E=(3,-1,1).
(2) [w]E=(-1,1,1) e [v]E=(-2,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas na base ortonormal da projeção do vetor na direção do vetor . Isso envolve entender o que é projeção vetorial, como calcular ela usando vetores em uma base ortonormal e aplicar isso nos dois casos que a questão apresenta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma projeção de um vetor projv w = ( w cdot vv cdot v ) v na direção de outro vetor . Basicamente, estamos querendo encontrar um vetor que está na “linha” de e que é a melhor aproximação de nessa direção.
Matematicamente, a projeção de em é dada pela fórmula:
Aqui, é o produto escalar dos vetores e , e é o produto escalar de consigo mesmo, que na base ortonormal é simplesmente o quadrado do comprimento de .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula no primeiro caso:
w cdot v = (1)(3) + (-1)(-1) + (2)(1) = 3 + 1 + 2 = 6 e v cdot v = (3)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 9 + 1 + 1 = 11 .
Primeiro, calculamos o produto escalar projv w = ( 611 ) v = ( 611 ) (3, -1, 1) = ( 1811, -611, 611 ) :
Em seguida, calculamos :
Agora, aplicamos na fórmula da projeção:

Passo 4

Vamos agora para o segundo caso:
w cdot v = (-1)(-2) + (1)(1) + (1)(2) = 2 + 1 + 2 = 5 e v cdot v = (-2)^2 + (1)^2 + (2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9 .
Calculamos o produto escalar projv w = ( 59 ) v = ( 59 ) (-2, 1, 2) = ( -109, 59, 109 ) :
E :
Aplicando na fórmula da projeção:

Resposta

  1. A projeção de na direção de é .
  2. A projeção de na direção de é .

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