Seja
uma base ortonormal de
. Determine as coordenadas na base
da projeção do vetor
na direção do vetor
nos seguintes casos:
(1)
.
(2)
e
.
(1)
(2)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas na base ortonormal
da projeção do vetor
na direção do vetor
. Isso envolve entender o que é projeção vetorial, como calcular ela usando vetores em uma base ortonormal e aplicar isso nos dois casos que a questão apresenta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma projeção de um vetor
na direção de outro vetor
. Basicamente, estamos querendo encontrar um vetor que está na “linha” de
e que é a melhor aproximação de
nessa direção.
Matematicamente, a projeção de
em
é dada pela fórmula:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores
e
, e
é o produto escalar de
consigo mesmo, que na base ortonormal é simplesmente o quadrado do comprimento de
.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula no primeiro caso:
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Em seguida, calculamos
:
Agora, aplicamos na fórmula da projeção:
Passo 4
Vamos agora para o segundo caso:
Calculamos o produto escalar
:
E
:
Aplicando na fórmula da projeção:
Resposta
-
A projeção de
na direção de é . -
A projeção de
na direção de é .