Usando estas aproximações, mostre que o campo magnético nos pontos do eixo z onde z gg ell pode ser escrito como
B=mu0 ms4 pi ell(1r1^2-1r2^2)
onde r1=z-ell / 2 e r2=z+ell / 2, e ms=n I pi ell R^2=N I pi R^2 é a magnitude do momento magnético do solenóide.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um solenóide, que é um tipo de bobina com várias voltas, e queremos encontrar o campo magnético no eixo z desse solenóide quando a distância z é muito maior que o comprimento ell do solenóide ( z gg ell). Para isso, precisamos usar conceitos de magnetismo, como momento magnético e a lei de Biot-Savart. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo magnético gerado por uma corrente elétrica em uma espira circular pode ser calculado usando a lei de Biot-Savart. Para um solenóide com várias voltas, o campo magnético no eixo central pode ser obtido somando os campos de cada espira.
A lei de Biot-Savart nos diz que o campo magnético B devido a um elemento de corrente I dl é dado por:
dB = mu04pi I dl times rr^2
onde:
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo,
  • I é a corrente,
  • dl é o elemento de comprimento da corrente,
  • r é o vetor unitário na direção de r,
  • r é a distância do elemento de corrente ao ponto onde estamos calculando o campo.

Passo 3

Para um solenóide com momento magnético ms = N I pi R^2, onde N é o número de voltas, I é a corrente, e R é o raio da bobina, o campo magnético no eixo z pode ser aproximado para pontos onde z gg ell.
Nesse caso, podemos tratar o solenóide como um dipolo magnético. O campo de um dipolo magnético ao longo do seu eixo central é dado por:
B = mu04pi 2 msz^3
Mas como queremos uma expressão mais detalhada considerando as posições r1 = z - ell2 e r2 = z + ell2, vamos adaptar essa fórmula.

Passo 4

Vamos considerar que o solenóide tem um comprimento ell e está centrado na origem do sistema de coordenadas. Assim, as extremidades do solenóide estão em z = -ell2 e z = ell2.
O campo magnético no ponto z devido a cada extremidade pode ser aproximado por:
B = mu0 ms4pi ( 1r1^2 - 1r2^2 )
onde:
  • r1 = z - ell2 é a distância do ponto z até uma extremidade,
  • r2 = z + ell2 é a distância do ponto z até a outra extremidade.
Essa diferença de termos leva em conta a contribuição de ambas as extremidades do solenóide para o campo magnético no ponto z.

Passo 5

Substituindo o momento magnético ms = N I pi R^2 na expressão anterior, temos:
B = mu0 N I pi R^24pi ell ( 1r1^2 - 1r2^2 )
Simplificando o pi:
B = mu0 N I R^24 ell ( 1r1^2 - 1r2^2 )
Esse é o campo magnético no eixo z onde z gg ell, levando em consideração as aproximações feitas.

Resposta

Portanto, o campo magnético no eixo z para z gg ell é dado por:
B = mu0 ms4 pi ell(1r1^2 - 1r2^2)
onde r1 = z - ell2, r2 = z + ell2, e ms = N I pi R^2 é a magnitude do momento magnético do solenóide.

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