Seja um bastão cilíndrico de combustível nuclear, com comprimento L e diâmetro D, que se encontra no interior de um tubo concêntrico. Água pressurizada escoa na região anular entre o bastão e o tubo a uma vazão dotm, e a superfície externa do tubo encontra-se isolada termicamente. Geração térmica ocorre no interior do bastão combustível, e sabe-se que a taxa volumétrica de geração varia senoidalmente com a distância ao longo do bastão. Isto é, dotq(x)=dotq0 sin (pi x / L), com dotq0(W / m^3) sendo uma constante. Pode-se admitir um coeficiente de conveç̧ão h uniforme entre a superfície do bastão e a água. Obtenha uma expressão para a variação da temperatura média Tm(x) da água com a distância x ao longo do tubo.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos um bastão cilíndrico de combustível nuclear com comprimento e diâmetro dentro de um tubo concêntrico. Água pressurizada está fluindo na região entre o bastão e o tubo com uma vazão mássica . O bastão gera calor de forma senoidal ao longo do comprimento, e queremos descobrir como a temperatura média da água varia com a distância ao longo do tubo.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de transferência de calor por convecção e equilíbrio de energia. Também vamos usar fórmulas de geometria para calcular áreas e fluxos de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da superfície externa do bastão por unidade de comprimento. Como o bastão é cilíndrico, a área superficial A = pi D L por unidade de comprimento é dada por:
A = pi D
Mas como estamos considerando por unidade de comprimento, simplificamos para:

Passo 3

Agora, vamos considerar a geração de calor dentro do bastão. A taxa volumétrica de geração de calor é:
dotq(x) = dotq0 sin(pi xL)
Para encontrar a taxa de geração de calor por unidade de comprimento Q(x) = dotq(x) times V = dotq0 sin(pi xL) times pi (D2)^2 = pi D^2 dotq04 sin(pi xL) , multiplicamos pelo volume por unidade de comprimento :

Passo 4

O calor gerado no bastão é transferido para a água por convecção. A taxa de transferência de calor por convecção é dada por:
Qconv = h A De
Onde:
  • Q(x) = Qconv Rightarrow pi D^2 dotq04 sin(pi xL) = h pi D (Ts - Tm(x)) é o coeficiente de convecção,
  • é a área de transferência de calor por unidade de comprimento ( ),
  • é a diferença de temperatura entre a superfície do bastão e a água .
Assumindo que todo o calor gerado é transferido para a água, temos:

Passo 5

Vamos simplificar a equação para encontrar D dotq04 sin(pi xL) = h (Ts - Tm(x)) :
Tm(x) = Ts - D dotq04h sin(pi xL)
Isolando :

Resposta

A variação da temperatura média da água ao longo da distância Tm(x) = Ts - D dotq04h sin(pi xL) é dada por:

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