Seja um bastão cilíndrico de combustível nuclear, com comprimento e diâmetro , que se encontra no interior de um tubo concêntrico. Água pressurizada escoa na região anular entre o bastão e o tubo a uma vazão , e a superfície externa do tubo encontra-se isolada termicamente. Geração térmica ocorre no interior do bastão combustível, e sabe-se que a taxa volumétrica de geração varia senoidalmente com a distância ao longo do bastão. Isto é, , com sendo uma constante. Pode-se admitir um coeficiente de conveç̧ão uniforme entre a superfície do bastão e a água. Obtenha uma expressão para a variação da temperatura média da água com a distância ao longo do tubo.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos um bastão cilíndrico de combustível nuclear com comprimento e diâmetro dentro de um tubo concêntrico. Água pressurizada está fluindo na região entre o bastão e o tubo com uma vazão mássica . O bastão gera calor de forma senoidal ao longo do comprimento, e queremos descobrir como a temperatura média da água varia com a distância ao longo do tubo.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de transferência de calor por convecção e equilíbrio de energia. Também vamos usar fórmulas de geometria para calcular áreas e fluxos de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da superfície externa do bastão por unidade de comprimento. Como o bastão é cilíndrico, a área superficial por unidade de comprimento é dada por:
Mas como estamos considerando por unidade de comprimento, simplificamos para:

Passo 3

Agora, vamos considerar a geração de calor dentro do bastão. A taxa volumétrica de geração de calor é:
Para encontrar a taxa de geração de calor por unidade de comprimento , multiplicamos pelo volume por unidade de comprimento :

Passo 4

O calor gerado no bastão é transferido para a água por convecção. A taxa de transferência de calor por convecção é dada por:
Onde:
  • é o coeficiente de convecção,
  • é a área de transferência de calor por unidade de comprimento ( ),
  • é a diferença de temperatura entre a superfície do bastão e a água .
Assumindo que todo o calor gerado é transferido para a água, temos:

Passo 5

Vamos simplificar a equação para encontrar :
Isolando :

Resposta

A variação da temperatura média da água ao longo da distância é dada por:

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