Seja beta=v1, cdots, vn uma base ortonormal de um espaço vetorial V. Mostre que, se v=c1 v1+cdots cn vn, então cj=lang<= vj, vrang<=, para cada j in1, cdots, n;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma base ortonormal de um espaço vetorial . Queremos mostrar que, se um vetor pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base, ou seja, , então cada coeficiente é igual ao produto interno . Para resolver isso, vamos usar as propriedades de bases ortonormais e produtos internos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortonormal. Uma base é ortonormal se os vetores da base são todos mutuamente ortogonais e cada vetor tem norma 1. Isso significa que se e .

Passo 3

Agora, temos o vetor escrito como . Nosso objetivo é encontrar os coeficientes . Para isso, vamos tirar o produto interno de ambos os lados da equação com um dos vetores da base, digamos .

Passo 4

Fazendo o produto interno, temos:
lang<= vk, v rang<= = lang<= vk, c1 v1 + dots + cn vn rang<=
Usamos a propriedade da linearidade do produto interno, que nos permite distribuir o produto interno sobre a soma e tirar constantes para fora.

Passo 5

Aplicando a linearidade, fica:
lang<= vk, v rang<= = c1 lang<= vk, v1 rang<= + dots + cn lang<= vk, vn rang<=
Agora, usamos a propriedade da ortonormalidade da base.

Passo 6

Como a base é ortonormal, lang<= vk, v rang<= = ck cdot 1 = ck para e . Então, todos os termos com anulam, restando apenas:

Resposta

Assim, mostramos que para cada .

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