Seja
uma base ortonormal de um espaço vetorial
. Mostre que, se
, então
, para cada
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma base ortonormal
de um espaço vetorial
. Queremos mostrar que, se um vetor
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base, ou seja,
, então cada coeficiente
é igual ao produto interno
. Para resolver isso, vamos usar as propriedades de bases ortonormais e produtos internos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortonormal. Uma base
é ortonormal se os vetores da base são todos mutuamente ortogonais e cada vetor tem norma 1. Isso significa que
se
e
.
Passo 3
Agora, temos o vetor
escrito como
. Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
. Para isso, vamos tirar o produto interno de ambos os lados da equação com um dos vetores da base, digamos
.
Passo 4
Fazendo o produto interno, temos:
Usamos a propriedade da linearidade do produto interno, que nos permite distribuir o produto interno sobre a soma e tirar constantes para fora.
Passo 5
Aplicando a linearidade, fica:
Agora, usamos a propriedade da ortonormalidade da base.
Passo 6
Como a base é ortonormal,
para
e
. Então, todos os termos com
anulam, restando apenas:
Resposta
Assim, mostramos que
para cada
.