Seja beta=v1, cdots, vn uma base ortonormal de um espaço vetorial V.
Mostre que, se v=c1 v1+cdots cn vn, então cj=lang<= vj, vrang<=, para cada j in1, cdots, n;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma base ortonormal beta = v1, cdots, vn de um espaço vetorial V. Queremos mostrar que, se um vetor v é uma combinação linear desses vetores da base, ou seja, v = c1 v1 + cdots + cn vn, então cada coeficiente cj é igual ao produto interno de vj com v, ou seja, cj = lang<= vj, v rang<= para cada j in 1, cdots, n.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base ortonormal. Uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são todos unitários (têm comprimento 1) e são mutuamente ortogonais (o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero). Ou seja, lang<= vi, vj rang<= = 0 se i neq j e lang<= vi, vi rang<= = 1.

Passo 3

Agora, vamos usar essa propriedade para encontrar o coeficiente cj. Sabemos que v = c1 v1 + cdots + cn vn. Para isolar cj, vamos tirar o produto interno de ambos os lados da equação com vj:
lang<= vj, v rang<= = lang<= vj, c1 v1 + cdots + cn vn rang<=

Passo 4

Usando a propriedade da linearidade do produto interno, podemos distribuir:
lang<= vj, v rang<= = c1 lang<= vj, v1 rang<= + cdots + cn lang<= vj, vn rang<=

Passo 5

Lembrando que a base é ortonormal, sabemos que lang<= vj, vk rang<= = 0 para k neq j e lang<= vj, vj rang<= = 1. Portanto, todos os termos onde k neq j desaparecem:
lang<= vj, v rang<= = cj cdot 1 = cj

Resposta

Assim, mostramos que cj = lang<= vj, v rang<= para cada j in 1, cdots, n.

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