Seja
uma base ortonormal de um espaço vetorial
.
Mostre que, se
, então
, para cada
;
Mostre que, se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma base ortonormal
de um espaço vetorial
. Queremos mostrar que, se um vetor
é uma combinação linear desses vetores da base, ou seja,
, então cada coeficiente
é igual ao produto interno de
com
, ou seja,
para cada
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base ortonormal. Uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são todos unitários (têm comprimento 1) e são mutuamente ortogonais (o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero). Ou seja,
se
e
.
Passo 3
Agora, vamos usar essa propriedade para encontrar o coeficiente
. Sabemos que
. Para isolar
, vamos tirar o produto interno de ambos os lados da equação com
:
Passo 4
Usando a propriedade da linearidade do produto interno, podemos distribuir:
Passo 5
Lembrando que a base é ortonormal, sabemos que
para
e
. Portanto, todos os termos onde
desaparecem:
Resposta
Assim, mostramos que
para cada
.