Seja C uma circunferência de raio 4 situada no plano x+y+z=1. Se F(x, y, z)=(z-y, x-z, y-x), os possíveis valores de integralC F cdot d r são:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma circunferência com raio 4, que está no plano definido por . Temos um campo vetorial e queremos encontrar os possíveis valores da integral de linha . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha com integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a integral de linha . Ela basicamente mede o trabalho realizado pelo campo vetorial ao longo do caminho . Para facilitar o cálculo, podemos usar o Teorema de Stokes, que nos permite converter essa integral de linha em uma integral de superfície, o que muitas vezes simplifica as coisas.

Passo 3

O Teorema de Stokes diz que:
integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Aqui, é o rotacional de , é o vetor normal à superfície que está limitada pela curva , e é um elemento de área na superfície.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de F(x, y, z) = (z - y, x - z, y - x) :
nabla times F = ( partialpartial y(y - x) - partialpartial z(x - z), partialpartial z(z - y) - partialpartial x(y - x), partialpartial x(x - z) - partialpartial y(z - y) )
O rotacional ( partialpartial y(y - x) - partialpartial z(x - z) ) &= (1 - 0) - (0 - 1) = 1 + 1 = 2 ( partialpartial z(z - y) - partialpartial x(y - x) ) &= (1 - 0) - (0 - 1) = 1 + 1 = 2 ( partialpartial x(x - z) - partialpartial y(z - y) ) &= (1 - 0) - (0 - 1) = 1 + 1 = 2 é dado por:
nabla times F = (2, 2, 2)
Calculando cada componente:
Então,

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o vetor normal | n | = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3 ao plano n = ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 ) . O vetor normal é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano, ou seja, . Para tornar um vetor unitário, calculamos sua norma:
Então, o vetor unitário ��:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot n = (2, 2, 2) cdot ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 ) = 2raiz3 + 2raiz3 + 2raiz3 = 6raiz3 = 2raiz3 :

Passo 7

A integral de superfície 2raiz3 times Área da superfície S agora se torna:
Área = pi r^2 = pi (4)^2 = 16pi Áí
Como é uma circunferência de raio 4, a área da superfície (que é um disco) é:
Á

Passo 8

Finalmente, multiplicamos:
2raiz3 times 16pi = 32raiz3 pi

Resposta

Os possíveis valores de são .

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