Seja
uma circunferência de raio 4 situada no plano
. Se
, os possíveis valores de
são:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma circunferência
com raio 4, que está no plano definido por
. Temos um campo vetorial
e queremos encontrar os possíveis valores da integral de linha
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha com integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a integral de linha
. Ela basicamente mede o trabalho realizado pelo campo vetorial
ao longo do caminho
. Para facilitar o cálculo, podemos usar o Teorema de Stokes, que nos permite converter essa integral de linha em uma integral de superfície, o que muitas vezes simplifica as coisas.
Passo 3
O Teorema de Stokes diz que:
Aqui,
é o rotacional de
,
é o vetor normal à superfície
que está limitada pela curva
, e
é um elemento de área na superfície.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
:
O rotacional
é dado por:
Calculando cada componente:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o vetor normal
ao plano
. O vetor normal é dado pelos coeficientes de
,
e
na equação do plano, ou seja,
. Para tornar
um vetor unitário, calculamos sua norma:
Então, o vetor unitário ��:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 7
A integral de superfície
agora se torna:
Como
é uma circunferência de raio 4, a área da superfície
(que é um disco) é:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos:
Resposta
Os possíveis valores de
são
.