Seja F um campo vetorial de classe C^1 em Omega=R^3-(0,0,0). Analise as afirmações a seguir, que são feitas em relação ao campo vetorial F, e decida se cada uma delas é verdadeira ou falsa.
(III) Se S é a fronteira do conjunto W=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2-1 <= z <= 1-x^2-y^2 e S está orientada positivamente, então integral duplaS rot F cdot n d S=0.
( ) Verdadeira
( ) Falsa

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial que é suave (classe ) no espaço tridimensional, excluindo a origem. A questão nos apresenta uma afirmação envolvendo uma integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície , que é a fronteira de um conjunto . Nosso objetivo é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial, também conhecido como curl. O rotacional mede a tendência do campo vetorial de “girar” ao redor de um ponto. A integral de superfície calcula a quantidade total de rotação do campo vetorial através da superfície , onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, vamos considerar a superfície que é a fronteira do conjunto . O conjunto é definido pelas desigualdades . Isso descreve uma região entre duas parábolas abertas em direções opostas. A superfície é composta pelas duas “tampas” parabólicas e está orientada positivamente, ou seja, o vetor normal aponta para fora de .

Passo 4

Para resolver a integral, vamos usar um teorema fundamental do cálculo vetorial, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial à integral de linha do campo ao longo da fronteira da superfície. Esse é o Teorema de Stokes:
integral duplaS rot , F cdot n , dS = ointpartial S F cdot dr
No nosso caso, já é a fronteira de , e como é um conjunto fechado, a sua fronteira não tem bordas (é nada). Portanto, a integral de linha ao longo de uma fronteira vazia é zero.

Passo 5

Outra forma de ver isso é usando a Divergência do Rotacional. Uma identidade importante da análise vetorial diz que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
div(rot , F) = 0
Aplicando o Teorema da Divergência, temos:
integral duplaS rot , F cdot n , dS = integral triplaW div(rot , F) , dV = 0

Resposta

Verdadeira. A integral de sobre a superfície é igual a zero.

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