Seja
um campo vetorial de classe
em
. Analise as afirmações a seguir, que são feitas em relação ao campo vetorial
, e decida se cada uma delas é verdadeira ou falsa.
(III) Se
é a fronteira do conjunto
e
está orientada positivamente, então
.
( ) Verdadeira
( ) Falsa
(III) Se
( ) Verdadeira
( ) Falsa
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial
que é suave (classe
) no espaço tridimensional, excluindo a origem. A questão nos apresenta uma afirmação envolvendo uma integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície
, que é a fronteira de um conjunto
. Nosso objetivo é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial, também conhecido como curl. O rotacional
mede a tendência do campo vetorial
de “girar” ao redor de um ponto. A integral de superfície
calcula a quantidade total de rotação do campo vetorial através da superfície
, onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Agora, vamos considerar a superfície
que é a fronteira do conjunto
. O conjunto
é definido pelas desigualdades
. Isso descreve uma região entre duas parábolas abertas em direções opostas. A superfície
é composta pelas duas “tampas” parabólicas e está orientada positivamente, ou seja, o vetor normal aponta para fora de
.
Passo 4
Para resolver a integral, vamos usar um teorema fundamental do cálculo vetorial, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial à integral de linha do campo ao longo da fronteira da superfície. Esse é o Teorema de Stokes:
No nosso caso,
já é a fronteira de
, e como
é um conjunto fechado, a sua fronteira
não tem bordas (é nada). Portanto, a integral de linha ao longo de uma fronteira vazia é zero.
Passo 5
Outra forma de ver isso é usando a Divergência do Rotacional. Uma identidade importante da análise vetorial diz que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
Aplicando o Teorema da Divergência, temos:
Resposta
Verdadeira. A integral de
sobre a superfície
é igual a zero.
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. Se
, os possíveis valores de
são:
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, m e n real tal que
.
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.