Seja
uma transformação linear de
tal que
e
.
é injetora?
é sobrejetora? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear
que vai de
para
. O enunciado nos dá três imagens de vetores específicos:
A pergunta é: essa transformação
é injetora? É sobrejetora? Para responder isso, vamos precisar entender o que são transformações injetoras e sobrejetoras e como verificar essas propriedades usando matrizes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser injetora ou sobrejetora.
-
Injetora:
é injetora se vetores diferentes em sempre resultam em vetores diferentes em . Em termos de matrizes, isso acontece se o núcleo (ou kernel) de contém apenas o vetor zero. -
Sobrejetora:
é sobrejetora se todo vetor em é imagem de pelo menos um vetor em . Para isso, a matriz associada a deve ter posto igual à dimensão do espaço de chegada, que no caso é 2.
Vamos construir a matriz associada a
usando as imagens dadas.
Passo 3
A transformação linear
pode ser representada por uma matriz
de tamanho
. Cada coluna de
corresponde à imagem dos vetores canônicos de
.
Vamos chamar os vetores canônicos de
,
e
.
Sabemos que:
-
- Como
-
Vamos resolver para encontrar
e
.
Passo 4
Primeiro, encontramos
. Sabemos que:
Substituindo
:
Então,
Agora, vamos encontrar
. Sabemos que:
Substituindo
:
Então,
Passo 5
Agora que temos todas as imagens dos vetores canônicos, podemos escrever a matriz
de
:
Com essa matriz, podemos analisar se
é injetora e/ou sobrejetora.
Passo 6
Verificando se
é injetora:
Para que
seja injetora, o núcleo de
deve conter apenas o vetor zero. Isso acontece se as colunas de
forem linearmente independentes. Vamos verificar o posto da matriz
.
Calculamos o posto de
através de sua forma reduzida por linhas:
Multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da segunda:
Como temos duas linhas não nulas, o posto de
é 2. Como o número de colunas é 3 e o posto é 2, existe uma solução não trivial para
. Portanto,
não é injetora.
Passo 7
Verificando se
é sobrejetora:
Para que
seja sobrejetora, o posto de
deve ser igual à dimensão do espaço de chegada, que é 2. Já vimos que o posto de
é 2, então
é sobrejetora.
Resposta
A transformação
não é injetora, pois existem vetores diferentes em
que têm a mesma imagem em
. No entanto,
é sobrejetora, já que todo vetor em
pode ser obtido como imagem de algum vetor em
.
Exercícios relacionados
Seja
uma transformação linear de
tal que
e
. Encontre uma expressão para
;
Seja
uma transformação linear de
tal que
e
. Determine uma base para o núcleo de
;
Seja
a curva definida por
. Determine uma equação da reta tangente e da reta normal à curva no ponto
.
Seja
uma curva parametrizada regular dada por
de modo que
a) Determine as possíveis formas de
.
b) Que tipo de curva é C.
b) Que tipo de curva é C.