Seja uma transformação linear de tal que e . é injetora? é sobrejetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear que vai de para . O enunciado nos dá três imagens de vetores específicos:
A pergunta é: essa transformação é injetora? É sobrejetora? Para responder isso, vamos precisar entender o que são transformações injetoras e sobrejetoras e como verificar essas propriedades usando matrizes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser injetora ou sobrejetora.
  • Injetora: é injetora se vetores diferentes em sempre resultam em vetores diferentes em . Em termos de matrizes, isso acontece se o núcleo (ou kernel) de contém apenas o vetor zero.
  • Sobrejetora: é sobrejetora se todo vetor em é imagem de pelo menos um vetor em . Para isso, a matriz associada a deve ter posto igual à dimensão do espaço de chegada, que no caso é 2.
Vamos construir a matriz associada a usando as imagens dadas.

Passo 3

A transformação linear pode ser representada por uma matriz de tamanho . Cada coluna de corresponde à imagem dos vetores canônicos de .
Vamos chamar os vetores canônicos de , e .
Sabemos que:
  • Como
Vamos resolver para encontrar e .

Passo 4

Primeiro, encontramos . Sabemos que:
Substituindo :
Então,
Agora, vamos encontrar . Sabemos que:
Substituindo :
Então,

Passo 5

Agora que temos todas as imagens dos vetores canônicos, podemos escrever a matriz de :
Com essa matriz, podemos analisar se é injetora e/ou sobrejetora.

Passo 6

Verificando se é injetora:
Para que seja injetora, o núcleo de deve conter apenas o vetor zero. Isso acontece se as colunas de forem linearmente independentes. Vamos verificar o posto da matriz .
Calculamos o posto de através de sua forma reduzida por linhas:
Multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da segunda:
Como temos duas linhas não nulas, o posto de é 2. Como o número de colunas é 3 e o posto é 2, existe uma solução não trivial para . Portanto, não é injetora.

Passo 7

Verificando se é sobrejetora:
Para que seja sobrejetora, o posto de deve ser igual à dimensão do espaço de chegada, que é 2. Já vimos que o posto de é 2, então é sobrejetora.

Resposta

A transformação não é injetora, pois existem vetores diferentes em que têm a mesma imagem em . No entanto, é sobrejetora, já que todo vetor em pode ser obtido como imagem de algum vetor em .

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