Seja C a curva representada pelas equações (Ex11)
x=2 cdot t, y=t^2(0 <= t <= 1)
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de c.
2.3. integralc(x-raizy) cdot d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva x = 2t, y = t^2 para 0 <= t <= 1 definida pelas equações paramétricas:
O objetivo aqui é calcular a integral de linha ao longo dessa curva para a função em relação a . Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a integral de linha usando essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que quando temos uma curva parametrizada por uma variável integralC f(x, y) , dy = integrala^b f(x(t), y(t)) cdot dydt , dt , a integral de linha de uma função em relação a pode ser escrita como:
Aqui, é a derivada de em relação a , e e são os limites de que definem nossa curva.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso problema. Nossa função f(x(t), y(t)) = 2t - raizt^2 = 2t - t = t é dydt = ddt(t^2) = 2t . Primeiro, substituímos integral0^1 t cdot 2t , dt = integral0^1 2t^2 , dt e pelas suas expressões em termos de :
Agora, calculamos :
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral integral0^1 2t^2 , dt = 2 [ t^33 ]0^1 = 2 ( 1^33 - 0^33 ) = 2 cdot 13 = 23 . A integral de em relação a é , então:

Resposta

O valor da integral de linha é .

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