Seja C a curva representada pelas equações (Ex12)
x=t, y=3 cdot t^2, z=6 cdot t^3(0 <= t <= 1)
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de c.
3.2. integralc x cdot y cdot z^2 cdot d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado nos dá uma curva x = t, y = 3t^2, z = 6t^3 para 0 <= t <= 1 parametrizada por:
integralC x cdot y cdot z^2 cdot dx
E precisamos calcular a integral:
Vamos usar o conceito de parametrização de curvas para substituir , , e em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar x = t Rightarrow dxdt = 1 Rightarrow dx = dt em termos de . Sabemos que:
Então, é simplesmente .

Passo 3

Agora, vamos substituir x = t, y = 3t^2, z = 6t^3 , x cdot y cdot z^2 = t cdot 3t^2 cdot (6t^3)^2 e na expressão da integral:
Substituindo na função a ser integrada:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 4

Simplificando:
x cdot y cdot z^2 = t cdot 3t^2 cdot (36t^6) = t cdot 3t^2 cdot 36t^6
Multiplicando os coeficientes e somando os expoentes de = 3 cdot 36 cdot t^1+2+6 = 108t^9 :

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral:
integralC x cdot y cdot z^2 cdot dx = integral0^1 108t^9 cdot dt
Isso porque e varia de 0 a 1.

Passo 6

Vamos integrar integral 108t^9 , dt = 108 cdot t^1010 + C = 10810 t^10 + C em relação a 10810 t^10 |0^1 = 10810 (1)^10 - 10810 (0)^10 = 10810 - 0 = 10810 = 10,8 :
Como é uma integral definida de 0 a 1, vamos calcular:

Resposta

O valor da integral de linha é .

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