Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas transformações lineares e definidas no espaço :
O objetivo é determinar:
b) e
Aqui, representa o núcleo da transformação, ou seja, o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero. representa a imagem da transformação, que é o conjunto de todos os vetores possíveis que podem ser obtidos após aplicar a transformação. Vamos precisar entender composição de funções e propriedades dos núcleos e imagens para resolver o problema.
Passo 2
Vamos começar calculando a composição , que significa aplicar primeiro e depois . Para isso, aplicamos a um vetor e depois aplicamos ao resultado.
Primeiro, aplicando :
Agora, aplicamos a :
Então, é a transformação definida por:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o núcleo de , ou seja, o conjunto de todos os vetores tais que .
Isso significa resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 4
Primeiro, da terceira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Por fim, substituímos e na primeira equação:
Isso significa que as soluções são expressas em termos de . Vamos chamar , onde é um parâmetro real.
Então:
Passo 5
Portanto, o núcleo de é o conjunto de todos os vetores da forma , onde . Podemos escrever isso de forma vetorial:
Isso significa que o núcleo é uma reta no espaço que passa pela origem e está na direção do vetor .
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem de F(x, y, z) = (x + y, z + y, z) . Primeiro, precisamos calcular a composição G(F(x, y, z)) = G(x + y, z + y, z) = ( (x + y) + 2(z + y), (z + y) - z, (x + y) + 2z ) , ou seja, aplicar = (x + y + 2z + 2y, y, x + y + 2z) primeiro e depois = (x + 3y + 2z, y, x + y + 2z) .
Vamos aplicar G circ F (x, y, z) = (x + 3y + 2z, y, x + y + 2z) a um vetor :
Agora, aplicamos a :
Então, é a transformação definida por:
Passo 7
Para encontrar a imagem de a = x + 3y + 2z , precisamos determinar todos os vetores b = y que podem ser obtidos a partir de c = x + y + 2z por meio de . Ou seja, queremos expressar , e em termos de , e :
Nossa meta é expressar em termos das variáveis livres, ou identificar as condições que , e devem satisfazer para pertencer à imagem.
Passo 8
Observando o sistema, vemos que a = x + 3b + 2z já está diretamente definido. Vamos usar c = x + b + 2z para expressar a - c = (x + 3b + 2z) - (x + b + 2z) = 2b .
Agora, podemos reescrever as outras equações em termos de implies a - c = 2b implies a = 2b + c :
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Isso nos dá uma relação entre , e . Portanto, qualquer vetor na imagem deve satisfazer .
Passo 9
Portanto, a imagem de Im(G circ F) = (2b + c, b, c) , | , b, c in R é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem a equação . Podemos expressar isso da seguinte forma: