Sejam F, G in L(R^3) assim definidos:
F(x, y, z)=(x+y, z+y, z) e G(x, y, z)=(x+2 y, y-z, x+2 z)
Determinar:
b) Ker(F circ G) e Im(G circ F).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas transformações lineares F(x, y, z) = (x + y, z + y, z) e G(x, y, z) = (x + 2y, y - z, x + 2z) definidas no espaço :
O objetivo é determinar:
b) e
Aqui, representa o núcleo da transformação, ou seja, o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero. representa a imagem da transformação, que é o conjunto de todos os vetores possíveis que podem ser obtidos após aplicar a transformação. Vamos precisar entender composição de funções e propriedades dos núcleos e imagens para resolver o problema.

Passo 2

Vamos começar calculando a composição G(x, y, z) = (x + 2y, y - z, x + 2z) , que significa aplicar F(G(x, y, z)) = F(x + 2y, y - z, x + 2z) = ( (x + 2y) + (y - z), (x + 2z) + (y - z), x + 2z ) primeiro e depois = (x + 3y - z, x + y + 2z - z, x + 2z) . Para isso, aplicamos = (x + 3y - z, x + y + z, x + 2z) a um vetor F circ G (x, y, z) = (x + 3y - z, x + y + z, x + 2z) e depois aplicamos ao resultado.
Primeiro, aplicando :
Agora, aplicamos a :
Então, é a transformação definida por:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o núcleo de x + 3y - z = 0 , ou seja, o conjunto de todos os vetores x + y + z = 0 tais que x + 2z = 0 .
Isso significa resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 4

Primeiro, da terceira equação:
x + 2z = 0 implies x = -2z
Agora, substituímos -2z + y + z = 0 implies y - z = 0 implies y = z na segunda equação:
-2z + 3z - z = 0 implies 0 = 0
Por fim, substituímos x = -2t e y = t na primeira equação:
z = t
Isso significa que as soluções são expressas em termos de . Vamos chamar , onde é um parâmetro real.
Então:

Passo 5

Portanto, o núcleo de Ker(F circ G) = t cdot (-2, 1, 1) , | , t in R é o conjunto de todos os vetores da forma , onde . Podemos escrever isso de forma vetorial:
Isso significa que o núcleo é uma reta no espaço que passa pela origem e está na direção do vetor .

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem de F(x, y, z) = (x + y, z + y, z) . Primeiro, precisamos calcular a composição G(F(x, y, z)) = G(x + y, z + y, z) = ( (x + y) + 2(z + y), (z + y) - z, (x + y) + 2z ) , ou seja, aplicar = (x + y + 2z + 2y, y, x + y + 2z) primeiro e depois = (x + 3y + 2z, y, x + y + 2z) .
Vamos aplicar G circ F (x, y, z) = (x + 3y + 2z, y, x + y + 2z) a um vetor :
Agora, aplicamos a :
Então, é a transformação definida por:

Passo 7

Para encontrar a imagem de a = x + 3y + 2z , precisamos determinar todos os vetores b = y que podem ser obtidos a partir de c = x + y + 2z por meio de . Ou seja, queremos expressar , e em termos de , e :
Nossa meta é expressar em termos das variáveis livres, ou identificar as condições que , e devem satisfazer para pertencer à imagem.

Passo 8

Observando o sistema, vemos que a = x + 3b + 2z já está diretamente definido. Vamos usar c = x + b + 2z para expressar a - c = (x + 3b + 2z) - (x + b + 2z) = 2b .
Agora, podemos reescrever as outras equações em termos de implies a - c = 2b implies a = 2b + c :
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Isso nos dá uma relação entre , e . Portanto, qualquer vetor na imagem deve satisfazer .

Passo 9

Portanto, a imagem de Im(G circ F) = (2b + c, b, c) , | , b, c in R é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem a equação . Podemos expressar isso da seguinte forma:
Isso representa um plano no espaço onde .

Resposta

Ker(F circ G) = t cdot (-2, 1, 1) , | , t in R
Im(G circ F) = (2b + c, b, c) , | , b, c in R

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