Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre verificar se o conjunto gera todo o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é um espaço vetorial de dimensão 3, já que qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito como , onde são números reais. Nosso objetivo é ver se conseguimos expressar qualquer polinômio desse tipo como uma combinação linear dos polinômios em .
Passo 3
Vamos supor que existe uma combinação linear dos elementos de que resulta em um polinômio genérico . Isso significa que queremos encontrar números reais tais que:
Passo 4
Agora, vamos expandir a combinação linear:
Agrupando os termos semelhantes, temos:
Passo 5
Para que essas duas expressões sejam iguais para todo , os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Portanto, estabelecemos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar em termos de .
Passo 6
Primeiro, da segunda equação, podemos expressar beta = e + gamma em função de alpha + 3(e + gamma) = f e alpha + 3e + 3gamma = f :
Agora, substituímos na terceira equação:
Que simplifica para:
Passo 7
Da primeira equação, temos:
alpha = d - gamma
Substituindo esse valor na equação anterior:
(d - gamma) + 3e + 3gamma = f
Simplificando:
d + 3e + 2gamma = f
Isolando 2gamma = f - d - 3e gamma = f - d - 3e2 :
Passo 8
Agora que temos alpha = d - f - d - 3e2 = 2d - f + d + 3e2 = 3d + 3e - f2 , podemos encontrar beta = e + f - d - 3e2 = 2e + f - d - 3e2 = f - d - e2 e :
Passo 9
Encontramos valores para que satisfazem o sistema para quaisquer . Isso significa que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios em .