Verifique se P2(R) é gerado por S=1+x^2, x+3 x^2, 1-x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre verificar se o conjunto gera todo o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é um espaço vetorial de dimensão 3, já que qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito como , onde são números reais. Nosso objetivo é ver se conseguimos expressar qualquer polinômio desse tipo como uma combinação linear dos polinômios em .

Passo 3

Vamos supor que existe uma combinação linear dos elementos de alpha(1 + x^2) + beta(x + 3x^2) + gamma(1 - x) = d + ex + fx^2 que resulta em um polinômio genérico . Isso significa que queremos encontrar números reais tais que:

Passo 4

Agora, vamos expandir a combinação linear:
alpha + alpha x^2 + beta x + 3beta x^2 + gamma - gamma x = d + ex + fx^2
Agrupando os termos semelhantes, temos:
(alpha + gamma) + (beta - gamma)x + (alpha + 3beta)x^2 = d + ex + fx^2

Passo 5

Para que essas duas expressões sejam iguais para todo alpha + gamma = d beta - gamma = e alpha + 3beta = f , os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Portanto, estabelecemos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar em termos de .

Passo 6

Primeiro, da segunda equação, podemos expressar beta = e + gamma em função de alpha + 3(e + gamma) = f e alpha + 3e + 3gamma = f :
Agora, substituímos na terceira equação:
Que simplifica para:

Passo 7

Da primeira equação, temos:
alpha = d - gamma
Substituindo esse valor na equação anterior:
(d - gamma) + 3e + 3gamma = f
Simplificando:
d + 3e + 2gamma = f
Isolando 2gamma = f - d - 3e gamma = f - d - 3e2 :

Passo 8

Agora que temos alpha = d - f - d - 3e2 = 2d - f + d + 3e2 = 3d + 3e - f2 , podemos encontrar beta = e + f - d - 3e2 = 2e + f - d - 3e2 = f - d - e2 e :

Passo 9

Encontramos valores para que satisfazem o sistema para quaisquer . Isso significa que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios em .

Resposta

Sim, o conjunto gera todo o espaço .

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