Sejam os vetores e em :
O vetor pode ser escrito como combinação linear de e ? Justifique.

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores no espaço de três dimensões: e . A pergunta é: será que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Basicamente, queremos encontrar dois números, que a gente pode chamar de e , tais que:
Ou seja:

Passo 3

Vamos expandir essa equação componente por componente. Isso nos dá um sistema de três equações:
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 4

Vamos começar resolvendo as duas primeiras equações:
Podemos multiplicar a equação (1) por 2 para facilitar a eliminação de :
Somando as duas equa�es:

Passo 5

Agora que temos , vamos substituir esse valor na equação (1) para encontrar :

Passo 6

Por último, vamos verificar se esses valores de e satisfazem a terceira equação do sistema:
Aqui, percebemos que não é igual a , o que significa que não existe uma combinação linear de e que resulte em .

Resposta

Não, o vetor não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .

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