Sejam os vetores u=(-2,3,2) e v=(1,-2,4) em R^3 :
O vetor (2,-6,5) pode ser escrito como combinação linear de u e v ? Justifique.

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores no espaço de três dimensões: e . A pergunta é: será que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Basicamente, queremos encontrar dois números, que a gente pode chamar de a cdot u + b cdot v = (2, -6, 5) e a cdot (-2, 3, 2) + b cdot (1, -2, 4) = (2, -6, 5) , tais que:
Ou seja:

Passo 3

Vamos expandir essa equação componente por componente. Isso nos dá um sistema de três equações:
-2a + b = 2 3a - 2b = -6 2a + 4b = 5
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 4

Vamos começar resolvendo as duas primeiras equações:
-2a + b = 2 (1) 3a - 2b = -6 (2)
Podemos multiplicar a equação (1) por 2 para facilitar a eliminação de -4a + 2b = 4 (1') 3a - 2b = -6 (2) :
-4a + 2b + 3a - 2b = 4 - 6 - a = -2 a = 2
Somando as duas equa�es:

Passo 5

Agora que temos -2(2) + b = 2 -4 + b = 2 b = 6 , vamos substituir esse valor na equação (1) para encontrar :

Passo 6

Por último, vamos verificar se esses valores de 2(2) + 4(6) = 4 + 24 = 28 neq 5 e satisfazem a terceira equação do sistema:
Aqui, percebemos que não é igual a , o que significa que não existe uma combinação linear de e que resulte em .

Resposta

Não, o vetor não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .

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