Seja
o quadrado com vértices
) (todas as combinações de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha
onde
é um quadrado com vértices nos pontos
. A matéria que vamos usar aqui é o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas. Precisamos entender como aplicar esse teorema para resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
, a integral de linha
é igual à integral dupla sobre
de
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Agora, a integral de linha original se transforma em uma integral dupla sobre a região
(nosso quadrado de lado 2, centrado na origem):
Como
é um quadrado com
e
variando de
a
, podemos escrever os limites da integral dupla assim:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
de
a
:
Resposta
0