Seja o quadrado com vértices ) (todas as combinações de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha onde é um quadrado com vértices nos pontos . A matéria que vamos usar aqui é o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas. Precisamos entender como aplicar esse teorema para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada que delimita uma região , a integral de linha é igual à integral dupla sobre de . No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 4

Agora, a integral de linha original se transforma em uma integral dupla sobre a região (nosso quadrado de lado 2, centrado na origem):
Como é um quadrado com e variando de a , podemos escrever os limites da integral dupla assim:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em .

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a de a :

Resposta

0

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