Seja C o quadrado com vértices ( pm 1, pm 1 ) (todas as combinações de
ointC y^2 d x+x^2 d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha onde é um quadrado com vértices nos pontos . A matéria que vamos usar aqui é o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas. Precisamos entender como aplicar esse teorema para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada que delimita uma região , a integral de linha é igual à integral dupla sobre de . No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial x^2partial x = 2x
partial Ppartial y = partial y^2partial y = 2y
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x - 2y

Passo 4

Agora, a integral de linha original se transforma em uma integral dupla sobre a região integral duplaD (2x - 2y) , dx , dy (nosso quadrado de lado 2, centrado na origem):
integral-1^1 integral-1^1 (2x - 2y) , dy , dx
Como é um quadrado com e variando de a , podemos escrever os limites da integral dupla assim:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a integral-1^1 (2x - 2y) , dy = 2x integral-1^1 dy - 2 integral-1^1 y , dy :
2x integral-1^1 dy = 2x cdot (1 - (-1)) = 4x
Calculando cada parte:
-2 integral-1^1 y , dy = -2 cdot [ y^22 ]-1^1 = -2 cdot ( 12 - 12 ) = 0
Então, a integral interna resulta em .

Passo 6

Agora, vamos integrar integral-1^1 4x , dx = 4 integral-1^1 x , dx = 4 cdot [ x^22 ]-1^1 = 4 cdot ( 12 - 12 ) = 0 em relação a de a :

Resposta

0

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