Seja
o quadrado com vértices
) (todas as combinações de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha
onde
é um quadrado com vértices nos pontos
. A matéria que vamos usar aqui é o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas. Precisamos entender como aplicar esse teorema para resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
, a integral de linha
é igual à integral dupla sobre
de
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Agora, a integral de linha original se transforma em uma integral dupla sobre a região
(nosso quadrado de lado 2, centrado na origem):
Como
é um quadrado com
e
variando de
a
, podemos escrever os limites da integral dupla assim:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
de
a
:
Resposta
0
Exercícios relacionados
Um sólido é limitado pela superfície
, o plano
e os planos
. Faça um esboço do sólido e calcule seu volume por integração dupla.
Seja
. Seja
uma função continuamente diferenciável. Seja
o campo vetorial definido em
por
Acima,
. Ache um potencial para
(se possível) em
.
Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe em uma forma circular de raio
.
(a) Encontre a relação entre a área do derramamento e o raio
.
(a) Encontre a relação entre a área
Suponha que um barco seja puxado para o cais por uma corda presa à sua proa, situada 6 m abaixo do apoio da corda no cais, conforme a figura abaixo. Suponha ainda que a corda seja puxada com uma velocidade de
. Nesse caso, o comprimento
da corda entre a proa e o apoio, a distância
do barco ao cais e o ângulo
entre a corda e a vertical são funções do tempo
. Denote por
o instante em que
.
(b) Calcule a derivada .
(b) Calcule a derivada