Sejam beta=e1, e2, e3 e beta^prime=u1, U2, U3=(1,-1,1),(-1,1,0),(1,0,0) bases de R^3. Determinar [[]beta^prime e sua inversa.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é que temos duas bases de :
  • A base , que é a base padrão.
  • A base .
O que queremos encontrar é a matriz de mudança de base de para , denotada por , e também a inversa dessa matriz. Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e matrizes de transição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de mudança de base é formada pelas coordenadas dos vetores da base em relação à base . Como é a base padrão, as coordenadas dos vetores de em relação a são exatamente os próprios vetores de .
Então, é simplesmente a matriz cujas colunas são , e .

Passo 3

Vamos construir a matriz [I]beta^prime = 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 :
Cada coluna dessa matriz representa um vetor da base escrito na base .

Passo 4

Agora, para encontrar a inversa dessa matriz A = 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 , precisamos calcular a matriz inversa da matriz que acabamos de formar. Vamos chamar essa matriz de :
Vamos encontrar usando a regra de Sarrus ou cofatores.

Passo 5

Calculando o determinante de det(A) = 1 cdot (1 cdot 0 - 0 cdot 0) - (-1) cdot (-1 cdot 0 - 0 cdot 1) + 1 cdot (-1 cdot 0 - 1 cdot 1) :
det(A) = 1 cdot (0 - 0) - (-1) cdot (0 - 0) + 1 cdot (0 - 1)
det(A) = 0 - 0 + (-1) = -1
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz é invertível.

Passo 6

Agora, vamos calcular a matriz dos cofatores de A^-1 = 0 & -1 & 1 -1 & -1 & 1 -1 & 0 & 1 , transpor essa matriz e dividir pelo determinante para obter .
Após os cálculos, encontramos que:

Resposta

A matriz de mudança de base [I]beta^prime = 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 é:
([I]beta^prime)^-1 = 0 & -1 & 1 -1 & -1 & 1 -1 & 0 & 1
E sua inversa é:

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