Sejam e bases de . Determinar e sua inversa.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é que temos duas bases de :
  • A base , que é a base padrão.
  • A base .
O que queremos encontrar é a matriz de mudança de base de para , denotada por , e também a inversa dessa matriz. Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e matrizes de transição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de mudança de base é formada pelas coordenadas dos vetores da base em relação à base . Como é a base padrão, as coordenadas dos vetores de em relação a são exatamente os próprios vetores de .
Então, é simplesmente a matriz cujas colunas são , e .

Passo 3

Vamos construir a matriz :
Cada coluna dessa matriz representa um vetor da base escrito na base .

Passo 4

Agora, para encontrar a inversa dessa matriz , precisamos calcular a matriz inversa da matriz que acabamos de formar. Vamos chamar essa matriz de :
Vamos encontrar usando a regra de Sarrus ou cofatores.

Passo 5

Calculando o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz é invertível.

Passo 6

Agora, vamos calcular a matriz dos cofatores de , transpor essa matriz e dividir pelo determinante para obter .
Após os cálculos, encontramos que:

Resposta

A matriz de mudança de base é:
E sua inversa é:

Exercícios relacionados

Para cada uma das seguintes matrizes, determine se a matriz está em forma escalonada, em forma escalonada reduzida, ambas ou nenhuma.
Verificar se os seguintes conjuntos são bases do . Em caso negativo, obter o subespaço gerado pelo conjunto, uma base e a dimensão deste conjunto:
Seja é
Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)