Seja, para cada lambda in I R, Slambda o conjunto solução do sistema lx-2 y+3 z=1 2 x+lambda y+6 z=2 3 x-6 y+lambda z=3. Como deve ser lambda para que Slambda seja i) vazio? ii) unitário? iii) uma reta? iv) um plano?

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa analisar um sistema de três equações lineares com três incógnitas ( x, y, z) que depende de um parâmetro lambda. O objetivo é descobrir para quais valores de lambda o conjunto solução Slambda será:
i) Vazio (sem solução)
ii) Unitário (uma única solução)
iii) Uma reta (infinitas soluções formando uma linha)
iv) Um plano (infinitas soluções formando um plano)
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente a análise de sistemas lineares através de determinantes e classificação de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que a gente tem:
x - 2y + 3z = 1 2x + lambda y + 6z = 2 3x - 6y + lambda z = 3
Nosso objetivo é analisar esse sistema para diferentes valores de lambda.

Passo 3

Vamos representar esse sistema na forma de matriz aumentada para facilitar a análise:
1 & -2 & 3 & | & 1 2 & lambda & 6 & | & 2 3 & -6 & lambda & | & 3
Aí, a gente pode usar o método de eliminação de Gauss para simplificar e encontrar as soluções.

Passo 4

Começamos eliminando o x das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Subtraindo 2 vezes a equação 1 da equação 2:
2 - 2(1) = 2 - 2 = 0 lambda - 2(-2) = lambda + 4 6 - 2(3) = 6 - 6 = 0 2 - 2(1) = 2 - 2 = 0
Então, a nova equação 2 é:
0x + (lambda + 4)y + 0z = 0
Subtraindo 3 vezes a equação 1 da equação 3:
3 - 3(1) = 3 - 3 = 0 -6 - 3(-2) = -6 + 6 = 0 lambda - 3(3) = lambda - 9 3 - 3(1) = 3 - 3 = 0
Então, a nova equação 3 é:
0x + 0y + (lambda - 9)z = 0

Passo 5

Agora, o sistema simplificado fica assim:
x - 2y + 3z = 1 (lambda + 4)y = 0 (lambda - 9)z = 0
Vamos analisar as possíveis situações:

Passo 6

i) Slambda é vazio:
O sistema não tem solução quando há inconsistência, ou seja, quando equações diferentes impõem condições conflitantes.
Aqui, precisamos que não haja nenhuma contradição. Observando o sistema simplificado, não há contradições diretas, então não há valor de lambda que torne o sistema inconsistente. Portanto, Slambda nunca é vazio.
Conclusão: Não existe valor de lambda que torne Slambda vazio.

Passo 7

ii) Slambda é unitário (uma única solução):
Isso ocorre quando o sistema possui exatamente uma solução. Analisando o sistema simplificado:
x - 2y + 3z = 1 (lambda + 4)y = 0 (lambda - 9)z = 0
Para ter uma única solução, devemos ter que y = 0 e z = 0, já que nenhuma variável pode ser livre.
Isso acontece quando os coeficientes de y e z não anulam. Ou seja:
lambda + 4 neq 0 e lambda - 9 neq 0
Resolvendo:
lambda neq -4 e lambda neq 9
Conclusão: Slambda é unitário para todos os valores de lambda exceto lambda = -4 e lambda = 9.

Passo 8

iii) Slambda é uma reta:
Isso ocorre quando o sistema possui infinitas soluções formando uma linha. Para isso, deve haver uma variável livre.
No nosso sistema simplificado, isso acontece se uma das equações (lambda + 4)y = 0 ou (lambda - 9)z = 0 tiver um coeficiente zero, permitindo que a respectiva variável seja livre.
Então, temos duas possibilidades:
  1. Se lambda + 4 = 0 ( lambda = -4), então a equação para y vira 0 cdot y = 0, o que significa que y pode ser qualquer valor (livre).
  2. Se lambda - 9 = 0 ( lambda = 9), então a equação para z vira 0 cdot z = 0, o que significa que z pode ser qualquer valor (livre).
Conclusão: Slambda é uma reta quando lambda = -4 ou lambda = 9.

Passo 9

iv) Slambda é um plano:
Para o sistema ter soluções formando um plano, precisaríamos que duas variáveis fossem livres, o que não ocorre no nosso sistema simplificado, pois apenas uma variável pode ser livre de cada vez (ou nenhuma).
No nosso caso, mesmo para lambda = -4 ou lambda = 9, apenas uma das variáveis ( y ou z) é livre, resultando em uma reta, não em um plano.
Conclusão: Não há valores de lambda que façam Slambda ser um plano.

Resposta

i) Não existe valor de lambda que torne Slambda vazio.
ii) Slambda é unitário para todo lambda neq -4 e lambda neq 9.
iii) Slambda é uma reta quando lambda = -4 ou lambda = 9.
iv) Não há valores de lambda que façam Slambda ser um plano.

Exercícios relacionados