Utilize d z para aproximar a variação Delta z da função f: R^2 -> R, f(x, y) = x^2 ln(y), quando se passa do ponto 3,1 para (2,99) ; (1,04).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar para aproximar a variação da função quando mudamos de um ponto para outro. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando derivadas parciais para estimar como pequenas mudanças em e afetam a função .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos de partida e chegada. Estamos passando do ponto para . Isso significa que:
Essas são as pequenas variações em e que vamos usar para encontrar .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e . Isso nos ajuda a entender como muda quando alteramos ou individualmente.
  • A derivada parcial de em relação a é:
  • A derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas no ponto inicial :
  • Calculando em :
    (Lembrando que )
  • Calculando em :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula do diferencial para aproximar :
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A variação aproximada é .

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Caleule a diferencial total nos casos: f(x, y) = 1/(x y)
Caleule a diferencial total nos casos: f(x, y) = x^2 + y^2
Seja z = x^2 y, calcule:
(a) Calcule a diferencial
Seja z = x^2 y, calcule:
(b) Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para a variação Delta z em z, quando se passa de x=1, y=2 para x = 1,02 e y = 2,01