Utilize
para aproximar a variação
da função
, quando se passa do ponto
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar
para aproximar a variação
da função
quando mudamos de um ponto para outro. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando derivadas parciais para estimar como pequenas mudanças em
e
afetam a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos de partida e chegada. Estamos passando do ponto
para
. Isso significa que:
Essas são as pequenas variações em
e
que vamos usar para encontrar
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
. Isso nos ajuda a entender como
muda quando alteramos
ou
individualmente.
- A derivada parcial de
em relação a é: - A derivada parcial de
em relação a é:
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas no ponto inicial
:
-
Calculando
em : (Lembrando que) -
Calculando
em :
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula do diferencial para aproximar
:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A variação aproximada
é
.
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Caleule a diferencial total nos casos:
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Seja
, calcule:
(a) Calcule a diferencial
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Seja
, calcule:
(b) Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para a variação em
, quando se passa de
para
e
(b) Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para a variação