Sejam B=(1,-1),(0,2) e C=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0) bases de R^2 e R^3, respectivamente, e
(T)B, C=(rr 1 & 0 1 & 1 0 & -1 )
Determine uma base D do R^3 tal que
(T)B, D=(ll 1 & 0 0 & 0 0 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases:
  • [T]B,C = 1 & 0 1 & 1 0 & -1 no espaço [T]B,D = 1 & 0 0 & 0 0 & 1
  • no espaço
Também foi dado o matriz da transformação linear relativa às bases e :
O que precisamos encontrar é uma nova base para tal que a matriz de relativa às bases e seja:
Para isso, vamos seguir alguns passos usando conceitos de mudanças de base e matrizes de transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de uma transformação linear [T]B,D = Q^-1 [T]B,C relativa a duas bases [T]B,D = 1 & 0 0 & 0 0 & 1 e está relacionada com a matriz de relativa a outras bases através de matrizes de mudança de base.
Especificamente:
onde é a matriz de mudança de base de para .
Nosso objetivo é encontrar tal que:

Passo 3

Vamos substituir 1 & 0 0 & 0 0 & 1 = Q^-1 1 & 0 1 & 1 0 & -1 e Q 1 & 0 0 & 0 0 & 1 = 1 & 0 1 & 1 0 & -1 na equação:
Para simplificar, podemos multiplicar ambos os lados pela matriz à esquerda:

Passo 4

Agora, vamos entender o que essa multiplicação significa. A matriz resultante no lado direito é composta pelas colunas resultantes da multiplicação da matriz Q cdot 1 0 0 = 1 1 0 pelas colunas da matriz diagonal.
Então:
  • A primeira coluna de Q cdot 0 0 1 = 0 1 -1 multiplicada por 1 (primeira coluna da diagonal) deve ser igual à primeira coluna da matriz do lado direito:
  • A segunda coluna de multiplicada por 1 (segunda coluna da diagonal) deve ser igual à terceira coluna da matriz do lado direito:

Passo 5

A partir dessas equações, podemos determinar as colunas da matriz 1 1 0 :
  • A primeira coluna de 0 1 -1 é Q = 1 & 0 1 & 1 0 & -1
  • A segunda coluna de é
Então, temos:

Passo 6

Agora que temos a matriz D = 1 1 0 , 0 1 -1 , podemos encontrar a base que corresponde a . Lembrando que é a matriz cujas colunas são os vetores da nova base expressos na base .
Portanto, os vetores da base são:

Resposta

A base 1 & 0 0 & 0 0 & 1 de D = 1 1 0 , 0 1 -1 que satisfaz é:

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