Também foi dado o matriz da transformação linear relativa às bases e :
O que precisamos encontrar é uma nova base para tal que a matriz de relativa às bases e seja:
Para isso, vamos seguir alguns passos usando conceitos de mudanças de base e matrizes de transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz de uma transformação linear [T]B,D = Q^-1 [T]B,C relativa a duas bases [T]B,D = 1 & 0 0 & 0 0 & 1 e está relacionada com a matriz de relativa a outras bases através de matrizes de mudança de base.
Para simplificar, podemos multiplicar ambos os lados pela matriz à esquerda:
Passo 4
Agora, vamos entender o que essa multiplicação significa. A matriz resultante no lado direito é composta pelas colunas resultantes da multiplicação da matriz Q cdot 1 0 0 = 1 1 0 pelas colunas da matriz diagonal.
Então:
A primeira coluna de Q cdot 0 0 1 = 0 1 -1 multiplicada por 1 (primeira coluna da diagonal) deve ser igual à primeira coluna da matriz do lado direito:
A segunda coluna de multiplicada por 1 (segunda coluna da diagonal) deve ser igual à terceira coluna da matriz do lado direito:
Passo 5
A partir dessas equações, podemos determinar as colunas da matriz 1 1 0 :
A primeira coluna de 0 1 -1 é Q = 1 & 0 1 & 1 0 & -1
A segunda coluna de é
Então, temos:
Passo 6
Agora que temos a matriz D = 1 1 0 , 0 1 -1 , podemos encontrar a base que corresponde a . Lembrando que é a matriz cujas colunas são os vetores da nova base expressos na base .
Portanto, os vetores da base são:
Resposta
A base 1 & 0 0 & 0 0 & 1 de D = 1 1 0 , 0 1 -1 que satisfaz é: