Sejam
uma matriz de tamanho
e
e
matrizes de tamanhos
e
, respectivamente, tais que
. Mostre que qualquer solução da equação matricial
é da forma
, onde
é matriz de tamanho
que é solução da equação homogênea associada
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre equações matriciais, uma parte da álgebra linear. A gente tem uma matriz
de tamanho
, e vetores (ou matrizes coluna)
de tamanho
e
de tamanho
que satisfazem
. A missão é mostrar que qualquer solução
da equação
pode ser escrita como
, onde
resolve a equação homogênea
. Para isso, vamos precisar entender o que são soluções particulares e homogêneas, e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa que
. Aqui,
é uma solução particular da equação não homogênea
. Isso significa que
resolve a equação específica que a gente tem.
Passo 3
Agora, vamos considerar uma solução geral
da equação
. Queremos expressar
de uma maneira que envolva
e alguma outra parte que, quando multiplicada por
, dá zero.
Passo 4
Vamos supor que
pode ser escrita como
, onde
é um vetor desconhecido. Nosso objetivo é descobrir as condições que
deve satisfazer para que
seja uma solução válida.
Passo 5
Substituindo
na equação original, temos:
Sabemos que
, então:
Para que essa igualdade seja verdadeira,
deve ser igual a zero:
Isso significa que
deve ser uma solução da equação homogênea associada.
Passo 6
Portanto, qualquer vetor
que satisfaz
pode ser escrito como
, onde
é solução de
. Isso mostra que todas as soluções da equação original são formadas pela solução particular
mais as soluções da equação homogênea.
Resposta
Qualquer solução da equação
pode ser expressa como
, onde
é uma solução da equação homogênea
.