Sejam M uma matriz de tamanho m times n e X1 e b matrizes de tamanhos n times 1 e m times 1, respectivamente, tais que M cdot X1=b. Mostre que qualquer solução da equação matricial M cdot X=b é da forma X=X1+Y, onde Y é matriz de tamanho n times 1 que é solução da equação homogênea associada M cdot Y=0m times 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre equações matriciais, uma parte da álgebra linear. A gente tem uma matriz de tamanho , e vetores (ou matrizes coluna) de tamanho e de tamanho que satisfazem . A missão é mostrar que qualquer solução da equação pode ser escrita como , onde resolve a equação homogênea . Para isso, vamos precisar entender o que são soluções particulares e homogêneas, e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa que . Aqui, é uma solução particular da equação não homogênea . Isso significa que resolve a equação específica que a gente tem.

Passo 3

Agora, vamos considerar uma solução geral da equação . Queremos expressar de uma maneira que envolva e alguma outra parte que, quando multiplicada por , dá zero.

Passo 4

Vamos supor que pode ser escrita como , onde é um vetor desconhecido. Nosso objetivo é descobrir as condições que deve satisfazer para que seja uma solução válida.

Passo 5

Substituindo M cdot X = M cdot (X1 + Y) = M cdot X1 + M cdot Y na equação original, temos:
b + M cdot Y = b
Sabemos que M cdot Y = 0 , então:
Para que essa igualdade seja verdadeira, deve ser igual a zero:
Isso significa que deve ser uma solução da equação homogênea associada.

Passo 6

Portanto, qualquer vetor que satisfaz pode ser escrito como , onde é solução de . Isso mostra que todas as soluções da equação original são formadas pela solução particular mais as soluções da equação homogênea.

Resposta

Qualquer solução da equação pode ser expressa como , onde é uma solução da equação homogênea .

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