Sejam uma matriz de tamanho e e matrizes de tamanhos e , respectivamente, tais que . Mostre que qualquer solução da equação matricial é da forma , onde é matriz de tamanho que é solução da equação homogênea associada .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre equações matriciais, uma parte da álgebra linear. A gente tem uma matriz de tamanho , e vetores (ou matrizes coluna) de tamanho e de tamanho que satisfazem . A missão é mostrar que qualquer solução da equação pode ser escrita como , onde resolve a equação homogênea . Para isso, vamos precisar entender o que são soluções particulares e homogêneas, e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa que . Aqui, é uma solução particular da equação não homogênea . Isso significa que resolve a equação específica que a gente tem.
Passo 3
Agora, vamos considerar uma solução geral da equação . Queremos expressar de uma maneira que envolva e alguma outra parte que, quando multiplicada por , dá zero.
Passo 4
Vamos supor que pode ser escrita como , onde é um vetor desconhecido. Nosso objetivo é descobrir as condições que deve satisfazer para que seja uma solução válida.
Passo 5
Substituindo na equação original, temos:
Sabemos que , então:
Para que essa igualdade seja verdadeira, deve ser igual a zero:
Isso significa que deve ser uma solução da equação homogênea associada.
Passo 6
Portanto, qualquer vetor que satisfaz pode ser escrito como , onde é solução de . Isso mostra que todas as soluções da equação original são formadas pela solução particular mais as soluções da equação homogênea.
Resposta
Qualquer solução da equação pode ser expressa como , onde é uma solução da equação homogênea .