Seja . Verdadeiro ou Falso? Justifique sua resposta. Se é diagonalizável, então existe uma única matriz tal que é uma matriz diagonal.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz que é uma matriz . A pergunta é: Verdadeiro ou Falso? Se for diagonalizável, então existe uma única matriz tal que seja uma matriz diagonal.
Vamos usar conceitos de diagonalização de matrizes para resolver isso. Precisamos saber o que significa diagonalizável e o papel da matriz nesse processo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se existe uma matriz invertível tal que:
onde é uma matriz diagonal (ou seja, todos os elementos fora da diagonal principal são zero).
Passo 3
Agora, a questão pergunta se essa matriz é única quando é diagonalizável. Para explorar isso, precisamos entender como a matriz é formada.
A matriz é construída a partir dos autovetores de . Cada coluna de é um autovetor de . Importante lembrar que os autovetores não são únicos; eles podem ser escalados por qualquer número não zero, e a ordem deles nas colunas também pode variar.
Passo 4
Devido a essa liberdade na escolha dos autovetores, podemos ter diferentes matrizes que diagonalizam . Por exemplo, se é um autovetor de , então qualquer múltiplo de , digamos onde , também é um autovetor de . Assim, as matrizes podem variar multiplicando as colunas por constantes e rearranjando a ordem das colunas.
Passo 5
Além disso, se tem dois autovetores linearmente independentes, podemos construir diferentes matrizes invertíveis combinando esses autovetores de maneiras diferentes. Isso mostra que não há uma única matriz que diagonaliza .
Resposta
Falso. Mesmo que seja diagonalizável, existem múltiplas matrizes que satisfazem sendo diagonal, portanto a matriz não é única.