Seja
. Verdadeiro ou Falso? Justifique sua resposta. Se
é diagonalizável, então existe uma única matriz
tal que
é uma matriz diagonal.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz
que é uma matriz
. A pergunta é: Verdadeiro ou Falso? Se
for diagonalizável, então existe uma única matriz
tal que
seja uma matriz diagonal.
Vamos usar conceitos de diagonalização de matrizes para resolver isso. Precisamos saber o que significa diagonalizável e o papel da matriz
nesse processo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz diagonalizável. Uma matriz
é diagonalizável se existe uma matriz invertível
tal que:
onde
é uma matriz diagonal (ou seja, todos os elementos fora da diagonal principal são zero).
Passo 3
Agora, a questão pergunta se essa matriz
é única quando
é diagonalizável. Para explorar isso, precisamos entender como a matriz
é formada.
A matriz
é construída a partir dos autovetores de
. Cada coluna de
é um autovetor de
. Importante lembrar que os autovetores não são únicos; eles podem ser escalados por qualquer número não zero, e a ordem deles nas colunas também pode variar.
Passo 4
Devido a essa liberdade na escolha dos autovetores, podemos ter diferentes matrizes
que diagonalizam
. Por exemplo, se
é um autovetor de
, então qualquer múltiplo de
, digamos
onde
, também é um autovetor de
. Assim, as matrizes
podem variar multiplicando as colunas por constantes e rearranjando a ordem das colunas.
Passo 5
Além disso, se
tem dois autovetores linearmente independentes, podemos construir diferentes matrizes
invertíveis combinando esses autovetores de maneiras diferentes. Isso mostra que não há uma única matriz
que diagonaliza
.
Resposta
Falso. Mesmo que
seja diagonalizável, existem múltiplas matrizes
que satisfazem
sendo diagonal, portanto a matriz
não é única.