Seja .
(a) Encontre uma forma escalonada de .
(b) O sistema linear tem solução única para algum ?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz e precisamos:
a) Transformar em uma forma escalonada.
b) Verificar se o sistema linear tem solução única para algum vetor .
Vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especialmente operações de linha para escalar matrizes e determinar soluções de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz :
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada usando operações de linha, que incluem trocar linhas, multiplicar uma linha por uma constante e adicionar múltiplos de uma linha a outra.
Passo 3
Operação 1: Manteremos a primeira linha como está, já que o primeiro elemento já é 1.
Passo 4
Operação 2: Vamos eliminar o elemento abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso, adicionamos a primeira linha à segunda linha.
Linha 2 = Linha 2 + Linha 1:
Nova matriz:
Passo 5
Operação 3: Agora, vamos eliminar o elemento na terceira linha, primeira coluna. Subtrairemos a primeira linha da terceira linha.
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1:
Nova matriz:
Passo 6
Operação 4: Observamos que as linhas 2 e 4 são semelhantes. Vamos simplificar a linha 2 dividindo-a por 2 para facilitar os cálculos.
Linha 2 = Linha 2 / 2:
Nova matriz:
Passo 7
Operação 5: Vamos eliminar os elementos abaixo e acima do pivô na coluna 3. Primeiro, adicionaremos a linha 2 à linha 3.
Linha 3 = Linha 3 + Linha 2:
Nova matriz:
Passo 8
Operação 6: Agora, vamos eliminar o elemento na linha 4, coluna 3. Subtrairemos 2 vezes a linha 2 da linha 4.
Linha 4 = Linha 4 - 2 * Linha 2:
Nova matriz:
Passo 9
Operação 7: Finalmente, observamos que a linha 4 tem um pivô na quinta coluna. Mantemos a forma atual, que já está escalonada.
A matriz escalonada de é:
Resposta
a) A forma escalonada da matriz é:
b) Sim, o sistema linear tem solução única para certos vetores . Isso acontece quando a matriz possui pivôs em todas as variáveis, garantindo que cada variável possa ser resolvida de forma independente. Na forma escalonada encontrada, há pivôs suficientes para garantir a existência de soluções únicas para alguns .