Seja A=[ccccc1 & 2 & 0 & -1 & 0 -1 & -2 & 2 & -3 & -1 1 & 2 & -1 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & -4 & 0].
(a) Encontre uma forma escalonada de A.
(b) O sistema linear A X=B tem solução única para algum B ?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz e precisamos:
a) Transformar em uma forma escalonada.
b) Verificar se o sistema linear tem solução única para algum vetor .
Vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especialmente operações de linha para escalar matrizes e determinar soluções de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 1 & 2 & 0 & -1 & 0 -1 & -2 & 2 & -3 & -1 1 & 2 & -1 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & -4 & 0 :
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada usando operações de linha, que incluem trocar linhas, multiplicar uma linha por uma constante e adicionar múltiplos de uma linha a outra.

Passo 3

Operação 1: Manteremos a primeira linha como está, já que o primeiro elemento já é 1.
1 & 2 & 0 & -1 & 0 -1 & -2 & 2 & -3 & -1 1 & 2 & -1 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & -4 & 0

Passo 4

Operação 2: Vamos eliminar o elemento abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso, adicionamos a primeira linha à segunda linha.
Linha 2 = Linha 2 + Linha 1:
-1 + 1 = 0, -2 + 2 = 0, 2 + 0 = 2, -3 + (-1) = -4, -1 + 0 = -1
Nova matriz:
1 & 2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 & -4 & -1 1 & 2 & -1 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & -4 & 0

Passo 5

Operação 3: Agora, vamos eliminar o elemento na terceira linha, primeira coluna. Subtrairemos a primeira linha da terceira linha.
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1:
1 - 1 = 0, 2 - 2 = 0, -1 - 0 = -1, 1 - (-1) = 2, 1 - 0 = 1
Nova matriz:
1 & 2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 & -4 & -1 0 & 0 & -1 & 2 & 1 0 & 0 & 2 & -4 & 0

Passo 6

Operação 4: Observamos que as linhas 2 e 4 são semelhantes. Vamos simplificar a linha 2 dividindo-a por 2 para facilitar os cálculos.
Linha 2 = Linha 2 / 2:
0, 0, 1, -2, -0.5
Nova matriz:
1 & 2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & -0.5 0 & 0 & -1 & 2 & 1 0 & 0 & 2 & -4 & 0

Passo 7

Operação 5: Vamos eliminar os elementos abaixo e acima do pivô na coluna 3. Primeiro, adicionaremos a linha 2 à linha 3.
Linha 3 = Linha 3 + Linha 2:
0 + 0 = 0, 0 + 0 = 0, -1 + 1 = 0, 2 + (-2) = 0, 1 + (-0.5) = 0.5
Nova matriz:
1 & 2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & -0.5 0 & 0 & 0 & 0 & 0.5 0 & 0 & 2 & -4 & 0

Passo 8

Operação 6: Agora, vamos eliminar o elemento na linha 4, coluna 3. Subtrairemos 2 vezes a linha 2 da linha 4.
Linha 4 = Linha 4 - 2 * Linha 2:
0 - 2*0 = 0, 0 - 2*0 = 0, 2 - 2*1 = 0, -4 - 2*(-2) = 0, 0 - 2*(-0.5) = 1
Nova matriz:
1 & 2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & -0.5 0 & 0 & 0 & 0 & 0.5 0 & 0 & 0 & 0 & 1

Passo 9

Operação 7: Finalmente, observamos que a linha 4 tem um pivô na quinta coluna. Mantemos a forma atual, que já está escalonada.
A matriz escalonada de 1 & 2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & -0.5 0 & 0 & 0 & 0 & 0.5 0 & 0 & 0 & 0 & 1 é:

Resposta

a) A forma escalonada da matriz 1 & 2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & -0.5 0 & 0 & 0 & 0 & 0.5 0 & 0 & 0 & 0 & 1 é:
b) Sim, o sistema linear tem solução única para certos vetores . Isso acontece quando a matriz possui pivôs em todas as variáveis, garantindo que cada variável possa ser resolvida de forma independente. Na forma escalonada encontrada, há pivôs suficientes para garantir a existência de soluções únicas para alguns .

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